Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58172 / 38460
↖ ↑ ↗
← N 59.450659°
W 20.225830°		 ← 155.24 m → N 59.450659°
W 20.223083°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 59.449264°
W 20.225830°		 ← 155.25 m →
24 094 m²		 N 59.449264°
W 20.223083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443820953369141 y=0.293430328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443820953369141 × 217)
    floor (0.443820953369141 × 131072)
    floor (58172.5)     		tx = 58172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293430328369141 × 217)
    floor (0.293430328369141 × 131072)
    floor (38460.5)     		ty = 38460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58172 / 38460 ti = "17/58172/38460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58172/38460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58172 ÷ 217
    58172 ÷ 131072     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38460 ÷ 217
    38460 ÷ 131072     		y = 0.293426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293426513671875 × 2 - 1) × π
    0.41314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29793949411264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29793949411264))-π/2
    2×atan(3.66174384422392)-π/2
    2×1.30420304044921-π/2
    2.60840608089842-1.57079632675     		φ = 1.03760975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03760975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.450659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58172 KachelY 38460 -0.35300733 1.03760975 -20.225830 59.450659
    Oben rechts KachelX + 1 58173 KachelY 38460 -0.35295939 1.03760975 -20.223083 59.450659
    Unten links KachelX 58172 KachelY + 1 38461 -0.35300733 1.03758539 -20.225830 59.449264
    Unten rechts KachelX + 1 58173 KachelY + 1 38461 -0.35295939 1.03758539 -20.223083 59.449264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03760975-1.03758539) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dl = 155.19756000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03760975-1.03758539) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dr = 155.19756000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.03760975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508280170881926 × 6371000     		do = 155.241847319017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.03758539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508301149362677 × 6371000     		du = 155.248254687024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03760975)-sin(1.03758539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508280170881926-0.508301149362677)×R²
    abs(-0.35295939--0.35300733)×2.09784807508884e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09784807508884e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09784807508884e-05×40589641000000     		ar = 24093.6531190608m²