Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58172 / 28220
↖ ↑ ↗
← N 71.020533°
W 20.225830°		 ← 99.33 m → N 71.020533°
W 20.223083°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.019640°
W 20.225830°		 ← 99.34 m →
9 866 m²		 N 71.019640°
W 20.223083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443820953369141 y=0.215305328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443820953369141 × 217)
    floor (0.443820953369141 × 131072)
    floor (58172.5)     		tx = 58172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215305328369141 × 217)
    floor (0.215305328369141 × 131072)
    floor (28220.5)     		ty = 28220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58172 / 28220 ti = "17/58172/28220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58172/28220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58172 ÷ 217
    58172 ÷ 131072     		x = 0.443817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28220 ÷ 217
    28220 ÷ 131072     		y = 0.215301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.11236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35300733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215301513671875 × 2 - 1) × π
    0.56939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78881334622202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35300733} λ = -0.35300733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78881334622202))-π/2
    2×atan(5.9823492753336)-π/2
    2×1.40516923344385-π/2
    2.8103384668877-1.57079632675     		φ = 1.23954214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35300733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.225830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23954214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.020533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58172 KachelY 28220 -0.35300733 1.23954214 -20.225830 71.020533
    Oben rechts KachelX + 1 58173 KachelY 28220 -0.35295939 1.23954214 -20.223083 71.020533
    Unten links KachelX 58172 KachelY + 1 28221 -0.35300733 1.23952655 -20.225830 71.019640
    Unten rechts KachelX + 1 58173 KachelY + 1 28221 -0.35295939 1.23952655 -20.223083 71.019640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23954214-1.23952655) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23954214-1.23952655) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.23954214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325229287041174 × 6371000     		do = 99.3333956642728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35300733--0.35295939) × cos(1.23952655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325244029454248 × 6371000     		du = 99.3378983766953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23954214)-sin(1.23952655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325229287041174-0.325244029454248)×R²
    abs(-0.35295939--0.35300733)×1.4742413074198e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4742413074198e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4742413074198e-05×40589641000000     		ar = 9866.40287787952m²