Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58171 / 85658
↖ ↑ ↗
← S 48.272225°
W 20.228577°		 ← 203.29 m → S 48.272225°
W 20.225830°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
S 48.274054°
W 20.228577°		 ← 203.28 m →
41 328 m²		 S 48.274054°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443813323974609 y=0.653522491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443813323974609 × 217)
    floor (0.443813323974609 × 131072)
    floor (58171.5)     		tx = 58171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653522491455078 × 217)
    floor (0.653522491455078 × 131072)
    floor (85658.5)     		ty = 85658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58171 / 85658 ti = "17/58171/85658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58171/85658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58171 ÷ 217
    58171 ÷ 131072     		x = 0.443809509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85658 ÷ 217
    85658 ÷ 131072     		y = 0.653518676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443809509277344 × 2 - 1) × π
    -0.112380981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35305527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653518676757812 × 2 - 1) × π
    -0.307037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96458629415477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35305527} λ = -0.35305527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96458629415477))-π/2
    2×atan(0.381140847323619)-π/2
    2×0.364143527714108-π/2
    0.728287055428217-1.57079632675     		φ = -0.84250927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35305527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.228577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84250927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.272225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58171 KachelY 85658 -0.35305527 -0.84250927 -20.228577 -48.272225
    Oben rechts KachelX + 1 58172 KachelY 85658 -0.35300733 -0.84250927 -20.225830 -48.272225
    Unten links KachelX 58171 KachelY + 1 85659 -0.35305527 -0.84254118 -20.228577 -48.274054
    Unten rechts KachelX + 1 58172 KachelY + 1 85659 -0.35300733 -0.84254118 -20.225830 -48.274054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84250927--0.84254118) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84250927--0.84254118) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(-0.84250927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		do = 203.288995061993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(-0.84254118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66556840057288 × 6371000     		du = 203.281721265455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84250927)-sin(-0.84254118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665592215843127-0.66556840057288)×R²
    abs(-0.35300733--0.35305527)×2.3815270246863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3815270246863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3815270246863e-05×40589641000000     		ar = 41327.6307515112m²