Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58171 / 28219
↖ ↑ ↗
← N 71.021426°
W 20.228577°		 ← 99.33 m → N 71.021426°
W 20.225830°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 71.020533°
W 20.228577°		 ← 99.33 m →
9 866 m²		 N 71.020533°
W 20.225830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443813323974609 y=0.215297698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443813323974609 × 217)
    floor (0.443813323974609 × 131072)
    floor (58171.5)     		tx = 58171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215297698974609 × 217)
    floor (0.215297698974609 × 131072)
    floor (28219.5)     		ty = 28219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58171 / 28219 ti = "17/58171/28219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58171/28219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58171 ÷ 217
    58171 ÷ 131072     		x = 0.443809509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28219 ÷ 217
    28219 ÷ 131072     		y = 0.215293884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443809509277344 × 2 - 1) × π
    -0.112380981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35305527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215293884277344 × 2 - 1) × π
    0.569412231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.78886128312164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35305527} λ = -0.35305527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78886128312164))-π/2
    2×atan(5.98263605748397)-π/2
    2×1.40517702850901-π/2
    2.81035405701802-1.57079632675     		φ = 1.23955773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35305527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.228577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23955773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.021426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58171 KachelY 28219 -0.35305527 1.23955773 -20.228577 71.021426
    Oben rechts KachelX + 1 58172 KachelY 28219 -0.35300733 1.23955773 -20.225830 71.021426
    Unten links KachelX 58171 KachelY + 1 28220 -0.35305527 1.23954214 -20.228577 71.020533
    Unten rechts KachelX + 1 58172 KachelY + 1 28220 -0.35300733 1.23954214 -20.225830 71.020533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23955773-1.23954214) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23955773-1.23954214) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(1.23955773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325214544549053 × 6371000     		do = 99.3288929275924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35305527--0.35300733) × cos(1.23954214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325229287041174 × 6371000     		du = 99.3333956641577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23955773)-sin(1.23954214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325214544549053-0.325229287041174)×R²
    abs(-0.35300733--0.35305527)×1.47424921206341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47424921206341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47424921206341e-05×40589641000000     		ar = 9865.95565000711m²