Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58170 / 86094
↖ ↑ ↗
← S 49.063069°
W 20.231323°		 ← 200.08 m → S 49.063069°
W 20.228577°		 →
↑
200.11 m
↓
↑
200.11 m
↓
S 49.064869°
W 20.231323°		 ← 200.07 m →
40 038 m²		 S 49.064869°
W 20.228577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443805694580078 y=0.656848907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443805694580078 × 217)
    floor (0.443805694580078 × 131072)
    floor (58170.5)     		tx = 58170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656848907470703 × 217)
    floor (0.656848907470703 × 131072)
    floor (86094.5)     		ty = 86094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58170 / 86094 ti = "17/58170/86094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58170/86094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58170 ÷ 217
    58170 ÷ 131072     		x = 0.443801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86094 ÷ 217
    86094 ÷ 131072     		y = 0.656845092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    -0.112396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35310320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.313690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.985486782389114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35310320} λ = -0.35310320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985486782389114))-π/2
    2×atan(0.373257487534942)-π/2
    2×0.357242113618455-π/2
    0.71448422723691-1.57079632675     		φ = -0.85631210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35310320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.231323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85631210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.063069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58170 KachelY 86094 -0.35310320 -0.85631210 -20.231323 -49.063069
    Oben rechts KachelX + 1 58171 KachelY 86094 -0.35305527 -0.85631210 -20.228577 -49.063069
    Unten links KachelX 58170 KachelY + 1 86095 -0.35310320 -0.85634351 -20.231323 -49.064869
    Unten rechts KachelX + 1 58171 KachelY + 1 86095 -0.35305527 -0.85634351 -20.228577 -49.064869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85631210--0.85634351) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dl = 200.113109999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85631210--0.85634351) × R
    3.1409999999954e-05 × 6371000     		dr = 200.113109999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.85631210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65522787264891 × 6371000     		do = 200.081713304775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.85634351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655204144228854 × 6371000     		du = 200.074467546258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85631210)-sin(-0.85634351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65522787264891-0.655204144228854)×R²
    abs(-0.35305527--0.35310320)×2.37284200556021e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37284200556021e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37284200556021e-05×40589641000000     		ar = 40038.2489210112m²