Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58170 / 85883
↖ ↑ ↗
← S 48.681894°
W 20.231323°		 ← 201.61 m → S 48.681894°
W 20.228577°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 48.683708°
W 20.231323°		 ← 201.60 m →
40 653 m²		 S 48.683708°
W 20.228577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443805694580078 y=0.655239105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443805694580078 × 217)
    floor (0.443805694580078 × 131072)
    floor (58170.5)     		tx = 58170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655239105224609 × 217)
    floor (0.655239105224609 × 131072)
    floor (85883.5)     		ty = 85883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58170 / 85883 ti = "17/58170/85883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58170/85883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58170 ÷ 217
    58170 ÷ 131072     		x = 0.443801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85883 ÷ 217
    85883 ÷ 131072     		y = 0.655235290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443801879882812 × 2 - 1) × π
    -0.112396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35310320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655235290527344 × 2 - 1) × π
    -0.310470581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.975372096569283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35310320} λ = -0.35310320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975372096569283))-π/2
    2×atan(0.377052027691443)-π/2
    2×0.360568493426318-π/2
    0.721136986852636-1.57079632675     		φ = -0.84965934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35310320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.231323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84965934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.681894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58170 KachelY 85883 -0.35310320 -0.84965934 -20.231323 -48.681894
    Oben rechts KachelX + 1 58171 KachelY 85883 -0.35305527 -0.84965934 -20.228577 -48.681894
    Unten links KachelX 58170 KachelY + 1 85884 -0.35310320 -0.84969099 -20.231323 -48.683708
    Unten rechts KachelX + 1 58171 KachelY + 1 85884 -0.35305527 -0.84969099 -20.228577 -48.683708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84965934--0.84969099) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84965934--0.84969099) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.84965934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660239038767578 × 6371000     		do = 201.61193316344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35310320--0.35305527) × cos(-0.84969099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.660215267529315 × 6371000     		du = 201.604674329868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84965934)-sin(-0.84969099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660239038767578-0.660215267529315)×R²
    abs(-0.35305527--0.35310320)×2.3771238262249e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3771238262249e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3771238262249e-05×40589641000000     		ar = 40652.7318288012m²