Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58169 / 85693
↖ ↑ ↗
← S 48.336169°
W 20.234070°		 ← 203.03 m → S 48.336169°
W 20.231323°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
S 48.337995°
W 20.234070°		 ← 203.03 m →
41 211 m²		 S 48.337995°
W 20.231323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443798065185547 y=0.653789520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443798065185547 × 217)
    floor (0.443798065185547 × 131072)
    floor (58169.5)     		tx = 58169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653789520263672 × 217)
    floor (0.653789520263672 × 131072)
    floor (85693.5)     		ty = 85693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58169 / 85693 ti = "17/58169/85693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58169/85693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58169 ÷ 217
    58169 ÷ 131072     		x = 0.443794250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85693 ÷ 217
    85693 ÷ 131072     		y = 0.653785705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443794250488281 × 2 - 1) × π
    -0.112411499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35315114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653785705566406 × 2 - 1) × π
    -0.307571411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.966264085641472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35315114} λ = -0.35315114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966264085641472))-π/2
    2×atan(0.380501908607598)-π/2
    2×0.363585514788428-π/2
    0.727171029576856-1.57079632675     		φ = -0.84362530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35315114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.234070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84362530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.336169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58169 KachelY 85693 -0.35315114 -0.84362530 -20.234070 -48.336169
    Oben rechts KachelX + 1 58170 KachelY 85693 -0.35310320 -0.84362530 -20.231323 -48.336169
    Unten links KachelX 58169 KachelY + 1 85694 -0.35315114 -0.84365716 -20.234070 -48.337995
    Unten rechts KachelX + 1 58170 KachelY + 1 85694 -0.35310320 -0.84365716 -20.231323 -48.337995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84362530--0.84365716) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84362530--0.84365716) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(-0.84362530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664758890891319 × 6371000     		do = 203.034476171927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(-0.84365716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664735089286876 × 6371000     		du = 203.027206549277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84362530)-sin(-0.84365716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664758890891319-0.664735089286876)×R²
    abs(-0.35310320--0.35315114)×2.3801604442375e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3801604442375e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3801604442375e-05×40589641000000     		ar = 41211.2123646869m²