Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58169 / 38621
↖ ↑ ↗
← N 59.225150°
W 20.234070°		 ← 156.28 m → N 59.225150°
W 20.231323°		 →
↑
156.22 m
↓
↑
156.22 m
↓
N 59.223745°
W 20.234070°		 ← 156.28 m →
24 413 m²		 N 59.223745°
W 20.231323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443798065185547 y=0.294658660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443798065185547 × 217)
    floor (0.443798065185547 × 131072)
    floor (58169.5)     		tx = 58169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294658660888672 × 217)
    floor (0.294658660888672 × 131072)
    floor (38621.5)     		ty = 38621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58169 / 38621 ti = "17/58169/38621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58169/38621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58169 ÷ 217
    58169 ÷ 131072     		x = 0.443794250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38621 ÷ 217
    38621 ÷ 131072     		y = 0.294654846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443794250488281 × 2 - 1) × π
    -0.112411499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35315114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294654846191406 × 2 - 1) × π
    0.410690307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.29022165327381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35315114} λ = -0.35315114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29022165327381))-π/2
    2×atan(3.63359186403226)-π/2
    2×1.30223510003469-π/2
    2.60447020006938-1.57079632675     		φ = 1.03367387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35315114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.234070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03367387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.225150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58169 KachelY 38621 -0.35315114 1.03367387 -20.234070 59.225150
    Oben rechts KachelX + 1 58170 KachelY 38621 -0.35310320 1.03367387 -20.231323 59.225150
    Unten links KachelX 58169 KachelY + 1 38622 -0.35315114 1.03364935 -20.234070 59.223745
    Unten rechts KachelX + 1 58170 KachelY + 1 38622 -0.35310320 1.03364935 -20.231323 59.223745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03367387-1.03364935) × R
    2.45200000001944e-05 × 6371000     		dl = 156.216920001238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03367387-1.03364935) × R
    2.45200000001944e-05 × 6371000     		dr = 156.216920001238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(1.03367387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511665772684107 × 6371000     		do = 156.275897254613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(1.03364935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511686839736114 × 6371000     		du = 156.282331674562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03367387)-sin(1.03364935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511665772684107-0.511686839736114)×R²
    abs(-0.35310320--0.35315114)×2.10670520074396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10670520074396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10670520074396e-05×40589641000000     		ar = 24413.4419232803m²