Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58169 / 28249
↖ ↑ ↗
← N 70.994611°
W 20.234070°		 ← 99.46 m → N 70.994611°
W 20.231323°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.993717°
W 20.234070°		 ← 99.47 m →
9 892 m²		 N 70.993717°
W 20.231323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443798065185547 y=0.215526580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443798065185547 × 217)
    floor (0.443798065185547 × 131072)
    floor (58169.5)     		tx = 58169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215526580810547 × 217)
    floor (0.215526580810547 × 131072)
    floor (28249.5)     		ty = 28249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58169 / 28249 ti = "17/58169/28249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58169/28249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58169 ÷ 217
    58169 ÷ 131072     		x = 0.443794250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28249 ÷ 217
    28249 ÷ 131072     		y = 0.215522766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443794250488281 × 2 - 1) × π
    -0.112411499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35315114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215522766113281 × 2 - 1) × π
    0.568954467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.78742317613303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35315114} λ = -0.35315114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78742317613303))-π/2
    2×atan(5.97403857029439)-π/2
    2×1.40494302278318-π/2
    2.80988604556637-1.57079632675     		φ = 1.23908972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35315114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.234070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23908972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.994611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58169 KachelY 28249 -0.35315114 1.23908972 -20.234070 70.994611
    Oben rechts KachelX + 1 58170 KachelY 28249 -0.35310320 1.23908972 -20.231323 70.994611
    Unten links KachelX 58169 KachelY + 1 28250 -0.35315114 1.23907411 -20.234070 70.993717
    Unten rechts KachelX + 1 58170 KachelY + 1 28250 -0.35310320 1.23907411 -20.231323 70.993717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23908972-1.23907411) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23908972-1.23907411) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(1.23908972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325657078014237 × 6371000     		do = 99.4640540386707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35315114--0.35310320) × cos(1.23907411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325671837041491 × 6371000     		du = 99.4685618254916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23908972)-sin(1.23907411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325657078014237-0.325671837041491)×R²
    abs(-0.35310320--0.35315114)×1.47590272546183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47590272546183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47590272546183e-05×40589641000000     		ar = 9892.05462488497m²