Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58168 / 86311
↖ ↑ ↗
← S 49.452057°
W 20.236817°		 ← 198.55 m → S 49.452057°
W 20.234070°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.453843°
W 20.236817°		 ← 198.55 m →
39 416 m²		 S 49.453843°
W 20.234070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443790435791016 y=0.658504486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443790435791016 × 217)
    floor (0.443790435791016 × 131072)
    floor (58168.5)     		tx = 58168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658504486083984 × 217)
    floor (0.658504486083984 × 131072)
    floor (86311.5)     		ty = 86311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58168 / 86311 ti = "17/58168/86311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58168/86311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58168 ÷ 217
    58168 ÷ 131072     		x = 0.44378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86311 ÷ 217
    86311 ÷ 131072     		y = 0.658500671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35319908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658500671386719 × 2 - 1) × π
    -0.317001342773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.995889089606667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35319908} λ = -0.35319908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995889089606667))-π/2
    2×atan(0.369394873358431)-π/2
    2×0.353847554113978-π/2
    0.707695108227956-1.57079632675     		φ = -0.86310122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35319908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86310122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.452057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58168 KachelY 86311 -0.35319908 -0.86310122 -20.236817 -49.452057
    Oben rechts KachelX + 1 58169 KachelY 86311 -0.35315114 -0.86310122 -20.234070 -49.452057
    Unten links KachelX 58168 KachelY + 1 86312 -0.35319908 -0.86313238 -20.236817 -49.453843
    Unten rechts KachelX + 1 58169 KachelY + 1 86312 -0.35315114 -0.86313238 -20.234070 -49.453843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86310122--0.86313238) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86310122--0.86313238) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35319908--0.35315114) × cos(-0.86310122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650084097990883 × 6371000     		do = 198.552416691198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35319908--0.35315114) × cos(-0.86313238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650060420367034 × 6371000     		du = 198.545184935412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86310122)-sin(-0.86313238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650084097990883-0.650060420367034)×R²
    abs(-0.35315114--0.35319908)×2.36776238490277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36776238490277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36776238490277e-05×40589641000000     		ar = 39415.9794181614m²