Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58166 / 86854
↖ ↑ ↗
← S 50.412018°
W 20.242310°		 ← 194.64 m → S 50.412018°
W 20.239563°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
S 50.413769°
W 20.242310°		 ← 194.63 m →
37 882 m²		 S 50.413769°
W 20.239563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443775177001953 y=0.662647247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443775177001953 × 217)
    floor (0.443775177001953 × 131072)
    floor (58166.5)     		tx = 58166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662647247314453 × 217)
    floor (0.662647247314453 × 131072)
    floor (86854.5)     		ty = 86854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58166 / 86854 ti = "17/58166/86854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58166/86854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58166 ÷ 217
    58166 ÷ 131072     		x = 0.443771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86854 ÷ 217
    86854 ÷ 131072     		y = 0.662643432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    -0.112457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35329495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662643432617188 × 2 - 1) × π
    -0.325286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02191882610036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35329495} λ = -0.35329495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02191882610036))-π/2
    2×atan(0.359903684601928)-π/2
    2×0.345470312916724-π/2
    0.690940625833447-1.57079632675     		φ = -0.87985570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35329495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87985570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.412018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58166 KachelY 86854 -0.35329495 -0.87985570 -20.242310 -50.412018
    Oben rechts KachelX + 1 58167 KachelY 86854 -0.35324701 -0.87985570 -20.239563 -50.412018
    Unten links KachelX 58166 KachelY + 1 86855 -0.35329495 -0.87988625 -20.242310 -50.413769
    Unten rechts KachelX + 1 58167 KachelY + 1 86855 -0.35324701 -0.87988625 -20.239563 -50.413769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87985570--0.87988625) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87985570--0.87988625) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(-0.87985570) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637262355184883 × 6371000     		do = 194.636326406583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(-0.87988625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637238811623797 × 6371000     		du = 194.629135597016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87985570)-sin(-0.87988625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637262355184883-0.637238811623797)×R²
    abs(-0.35324701--0.35329495)×2.35435610860257e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35435610860257e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35435610860257e-05×40589641000000     		ar = 37882.1567003266m²