Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58166 / 28246
↖ ↑ ↗
← N 70.997295°
W 20.242310°		 ← 99.45 m → N 70.997295°
W 20.239563°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 70.996400°
W 20.242310°		 ← 99.46 m →
9 891 m²		 N 70.996400°
W 20.239563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443775177001953 y=0.215503692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443775177001953 × 217)
    floor (0.443775177001953 × 131072)
    floor (58166.5)     		tx = 58166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215503692626953 × 217)
    floor (0.215503692626953 × 131072)
    floor (28246.5)     		ty = 28246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58166 / 28246 ti = "17/58166/28246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58166/28246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58166 ÷ 217
    58166 ÷ 131072     		x = 0.443771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28246 ÷ 217
    28246 ÷ 131072     		y = 0.215499877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443771362304688 × 2 - 1) × π
    -0.112457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35329495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215499877929688 × 2 - 1) × π
    0.569000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78756698683189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35329495} λ = -0.35329495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78756698683189))-π/2
    2×atan(5.97489776273525)-π/2
    2×1.40496643767733-π/2
    2.80993287535467-1.57079632675     		φ = 1.23913655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35329495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23913655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.997295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58166 KachelY 28246 -0.35329495 1.23913655 -20.242310 70.997295
    Oben rechts KachelX + 1 58167 KachelY 28246 -0.35324701 1.23913655 -20.239563 70.997295
    Unten links KachelX 58166 KachelY + 1 28247 -0.35329495 1.23912094 -20.242310 70.996400
    Unten rechts KachelX + 1 58167 KachelY + 1 28247 -0.35324701 1.23912094 -20.239563 70.996400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23913655-1.23912094) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23913655-1.23912094) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(1.23913655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.325612800456366 × 6371000     		do = 99.4505305329077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35329495--0.35324701) × cos(1.23912094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.32562755972167 × 6371000     		du = 99.4550383924352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23913655)-sin(1.23912094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325612800456366-0.32562755972167)×R²
    abs(-0.35324701--0.35329495)×1.47592653044759e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.47592653044759e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.47592653044759e-05×40589641000000     		ar = 9890.70969798483m²