Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58165 / 38457
↖ ↑ ↗
← N 59.454848°
W 20.245056°		 ← 155.22 m → N 59.454848°
W 20.242310°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 59.453451°
W 20.245056°		 ← 155.23 m →
24 101 m²		 N 59.453451°
W 20.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443767547607422 y=0.293407440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443767547607422 × 217)
    floor (0.443767547607422 × 131072)
    floor (58165.5)     		tx = 58165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293407440185547 × 217)
    floor (0.293407440185547 × 131072)
    floor (38457.5)     		ty = 38457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58165 / 38457 ti = "17/58165/38457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58165/38457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58165 ÷ 217
    58165 ÷ 131072     		x = 0.443763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38457 ÷ 217
    38457 ÷ 131072     		y = 0.293403625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443763732910156 × 2 - 1) × π
    -0.112472534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35334289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293403625488281 × 2 - 1) × π
    0.413192749023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.2980833048115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35334289} λ = -0.35334289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2980833048115))-π/2
    2×atan(3.66227048003223)-π/2
    2×1.3042395862491-π/2
    2.6084791724982-1.57079632675     		φ = 1.03768285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35334289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.245056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03768285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.454848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58165 KachelY 38457 -0.35334289 1.03768285 -20.245056 59.454848
    Oben rechts KachelX + 1 58166 KachelY 38457 -0.35329495 1.03768285 -20.242310 59.454848
    Unten links KachelX 58165 KachelY + 1 38458 -0.35334289 1.03765848 -20.245056 59.453451
    Unten rechts KachelX + 1 58166 KachelY + 1 38458 -0.35329495 1.03765848 -20.242310 59.453451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03768285-1.03765848) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03768285-1.03765848) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(1.03768285) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508217216405435 × 6371000     		do = 155.222619401448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(1.03765848) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508238204403417 × 6371000     		du = 155.229029676263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03768285)-sin(1.03765848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508217216405435-0.508238204403417)×R²
    abs(-0.35329495--0.35334289)×2.09879979814476e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09879979814476e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09879979814476e-05×40589641000000     		ar = 24100.5586558732m²