Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58165 / 38453
↖ ↑ ↗
← N 59.460431°
W 20.245056°		 ← 155.20 m → N 59.460431°
W 20.242310°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 59.459035°
W 20.245056°		 ← 155.20 m →
24 087 m²		 N 59.459035°
W 20.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443767547607422 y=0.293376922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443767547607422 × 217)
    floor (0.443767547607422 × 131072)
    floor (58165.5)     		tx = 58165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293376922607422 × 217)
    floor (0.293376922607422 × 131072)
    floor (38453.5)     		ty = 38453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58165 / 38453 ti = "17/58165/38453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58165/38453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58165 ÷ 217
    58165 ÷ 131072     		x = 0.443763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38453 ÷ 217
    38453 ÷ 131072     		y = 0.293373107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443763732910156 × 2 - 1) × π
    -0.112472534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35334289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293373107910156 × 2 - 1) × π
    0.413253784179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29827505240998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35334289} λ = -0.35334289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29827505240998))-π/2
    2×atan(3.66297277893168)-π/2
    2×1.30428830694181-π/2
    2.60857661388362-1.57079632675     		φ = 1.03778029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35334289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.245056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03778029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.460431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58165 KachelY 38453 -0.35334289 1.03778029 -20.245056 59.460431
    Oben rechts KachelX + 1 58166 KachelY 38453 -0.35329495 1.03778029 -20.242310 59.460431
    Unten links KachelX 58165 KachelY + 1 38454 -0.35334289 1.03775593 -20.245056 59.459035
    Unten rechts KachelX + 1 58166 KachelY + 1 38454 -0.35329495 1.03775593 -20.242310 59.459035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03778029-1.03775593) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dl = 155.197559998946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03778029-1.03775593) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dr = 155.197559998946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(1.03778029) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508133295846486 × 6371000     		do = 155.19698790263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35334289--0.35329495) × cos(1.03775593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508154276438551 × 6371000     		du = 155.203395915487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03778029)-sin(1.03775593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508133295846486-0.508154276438551)×R²
    abs(-0.35329495--0.35334289)×2.09805920652339e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09805920652339e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09805920652339e-05×40589641000000     		ar = 24086.6910969575m²