Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58164 / 86492
↖ ↑ ↗
← S 49.774169°
W 20.247803°		 ← 197.20 m → S 49.774169°
W 20.245056°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 49.775943°
W 20.247803°		 ← 197.20 m →
38 897 m²		 S 49.775943°
W 20.245056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443759918212891 y=0.659885406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443759918212891 × 217)
    floor (0.443759918212891 × 131072)
    floor (58164.5)     		tx = 58164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659885406494141 × 217)
    floor (0.659885406494141 × 131072)
    floor (86492.5)     		ty = 86492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58164 / 86492 ti = "17/58164/86492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58164/86492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58164 ÷ 217
    58164 ÷ 131072     		x = 0.443756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86492 ÷ 217
    86492 ÷ 131072     		y = 0.659881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.11248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35339082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.31976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0045656684379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35339082} λ = -0.35339082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0045656684379))-π/2
    2×atan(0.366203654073093)-π/2
    2×0.351036592552164-π/2
    0.702073185104328-1.57079632675     		φ = -0.86872314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35339082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.247803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86872314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.774169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58164 KachelY 86492 -0.35339082 -0.86872314 -20.247803 -49.774169
    Oben rechts KachelX + 1 58165 KachelY 86492 -0.35334289 -0.86872314 -20.245056 -49.774169
    Unten links KachelX 58164 KachelY + 1 86493 -0.35339082 -0.86875410 -20.247803 -49.775943
    Unten rechts KachelX + 1 58165 KachelY + 1 86493 -0.35334289 -0.86875410 -20.245056 -49.775943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86872314--0.86875410) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86872314--0.86875410) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.86872314) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645801962368012 × 6371000     		do = 197.203398206572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35339082--0.35334289) × cos(-0.86875410) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645778323944918 × 6371000     		du = 197.19617992971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86872314)-sin(-0.86875410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645801962368012-0.645778323944918)×R²
    abs(-0.35334289--0.35339082)×2.36384230949405e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36384230949405e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36384230949405e-05×40589641000000     		ar = 38896.9011495136m²