Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58163 / 36175
↖ ↑ ↗
← N 62.493296°
W 20.250549°		 ← 141.06 m → N 62.493296°
W 20.247803°		 →
↑
141.05 m
↓
↑
141.05 m
↓
N 62.492028°
W 20.250549°		 ← 141.07 m →
19 898 m²		 N 62.492028°
W 20.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443752288818359 y=0.275997161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443752288818359 × 217)
    floor (0.443752288818359 × 131072)
    floor (58163.5)     		tx = 58163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275997161865234 × 217)
    floor (0.275997161865234 × 131072)
    floor (36175.5)     		ty = 36175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58163 / 36175 ti = "17/58163/36175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58163/36175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58163 ÷ 217
    58163 ÷ 131072     		x = 0.443748474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36175 ÷ 217
    36175 ÷ 131072     		y = 0.275993347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443748474121094 × 2 - 1) × π
    -0.112503051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35343876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275993347167969 × 2 - 1) × π
    0.448013305664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.40747530974447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35343876} λ = -0.35343876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40747530974447))-π/2
    2×atan(4.08562742833121)-π/2
    2×1.33075505358115-π/2
    2.66151010716231-1.57079632675     		φ = 1.09071378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35343876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.250549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09071378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.493296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58163 KachelY 36175 -0.35343876 1.09071378 -20.250549 62.493296
    Oben rechts KachelX + 1 58164 KachelY 36175 -0.35339082 1.09071378 -20.247803 62.493296
    Unten links KachelX 58163 KachelY + 1 36176 -0.35343876 1.09069164 -20.250549 62.492028
    Unten rechts KachelX + 1 58164 KachelY + 1 36176 -0.35339082 1.09069164 -20.247803 62.492028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09071378-1.09069164) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dl = 141.053940000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09071378-1.09069164) × R
    2.21400000000038e-05 × 6371000     		dr = 141.053940000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35343876--0.35339082) × cos(1.09071378) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461852392556089 × 6371000     		do = 141.061608767285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35343876--0.35339082) × cos(1.09069164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.461872029666475 × 6371000     		du = 141.067606446256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09071378)-sin(1.09069164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461852392556089-0.461872029666475)×R²
    abs(-0.35339082--0.35343876)×1.96371103853288e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96371103853288e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96371103853288e-05×40589641000000     		ar = 19897.7186982147m²