Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58162 / 86385
↖ ↑ ↗
← S 49.584007°
W 20.253296°		 ← 198.02 m → S 49.584007°
W 20.250549°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.585787°
W 20.253296°		 ← 198.01 m →
39 209 m²		 S 49.585787°
W 20.250549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443744659423828 y=0.659069061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443744659423828 × 217)
    floor (0.443744659423828 × 131072)
    floor (58162.5)     		tx = 58162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659069061279297 × 217)
    floor (0.659069061279297 × 131072)
    floor (86385.5)     		ty = 86385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58162 / 86385 ti = "17/58162/86385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58162/86385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58162 ÷ 217
    58162 ÷ 131072     		x = 0.443740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86385 ÷ 217
    86385 ÷ 131072     		y = 0.659065246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443740844726562 × 2 - 1) × π
    -0.112518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35348670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659065246582031 × 2 - 1) × π
    -0.318130493164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.999436420178551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35348670} λ = -0.35348670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999436420178551))-π/2
    2×atan(0.368086829035531)-π/2
    2×0.352696076126041-π/2
    0.705392152252083-1.57079632675     		φ = -0.86540417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35348670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86540417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.584007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58162 KachelY 86385 -0.35348670 -0.86540417 -20.253296 -49.584007
    Oben rechts KachelX + 1 58163 KachelY 86385 -0.35343876 -0.86540417 -20.250549 -49.584007
    Unten links KachelX 58162 KachelY + 1 86386 -0.35348670 -0.86543525 -20.253296 -49.585787
    Unten rechts KachelX + 1 58163 KachelY + 1 86386 -0.35343876 -0.86543525 -20.250549 -49.585787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86540417--0.86543525) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86540417--0.86543525) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(-0.86540417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648332450843474 × 6371000     		do = 198.017418564752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(-0.86543525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648308787543523 × 6371000     		du = 198.010191183853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86540417)-sin(-0.86543525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648332450843474-0.648308787543523)×R²
    abs(-0.35343876--0.35348670)×2.36632999512931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36632999512931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36632999512931e-05×40589641000000     		ar = 39208.8481558182m²