Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58162 / 38549
↖ ↑ ↗
← N 59.326184°
W 20.253296°		 ← 155.81 m → N 59.326184°
W 20.250549°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.324783°
W 20.253296°		 ← 155.82 m →
24 282 m²		 N 59.324783°
W 20.250549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443744659423828 y=0.294109344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443744659423828 × 217)
    floor (0.443744659423828 × 131072)
    floor (58162.5)     		tx = 58162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294109344482422 × 217)
    floor (0.294109344482422 × 131072)
    floor (38549.5)     		ty = 38549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58162 / 38549 ti = "17/58162/38549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58162/38549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58162 ÷ 217
    58162 ÷ 131072     		x = 0.443740844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38549 ÷ 217
    38549 ÷ 131072     		y = 0.294105529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443740844726562 × 2 - 1) × π
    -0.112518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35348670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294105529785156 × 2 - 1) × π
    0.411788940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29367311004646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35348670} λ = -0.35348670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29367311004646))-π/2
    2×atan(3.64615471688087)-π/2
    2×1.30311678777864-π/2
    2.60623357555728-1.57079632675     		φ = 1.03543725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35348670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.253296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03543725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.326184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58162 KachelY 38549 -0.35348670 1.03543725 -20.253296 59.326184
    Oben rechts KachelX + 1 58163 KachelY 38549 -0.35343876 1.03543725 -20.250549 59.326184
    Unten links KachelX 58162 KachelY + 1 38550 -0.35348670 1.03541279 -20.253296 59.324783
    Unten rechts KachelX + 1 58163 KachelY + 1 38550 -0.35343876 1.03541279 -20.250549 59.324783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03543725-1.03541279) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dl = 155.834659999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03543725-1.03541279) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dr = 155.834659999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(1.03543725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510149909055739 × 6371000     		do = 155.81291348418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35348670--0.35343876) × cos(1.03541279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5101709465945 × 6371000     		du = 155.819338890024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03543725)-sin(1.03541279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510149909055739-0.5101709465945)×R²
    abs(-0.35343876--0.35348670)×2.10375387610373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10375387610373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10375387610373e-05×40589641000000     		ar = 24281.5530479741m²