Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58161 / 86383
↖ ↑ ↗
← S 49.580445°
W 20.256042°		 ← 197.99 m → S 49.580445°
W 20.253296°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.582226°
W 20.256042°		 ← 197.98 m →
39 204 m²		 S 49.582226°
W 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443737030029297 y=0.659053802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443737030029297 × 217)
    floor (0.443737030029297 × 131072)
    floor (58161.5)     		tx = 58161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659053802490234 × 217)
    floor (0.659053802490234 × 131072)
    floor (86383.5)     		ty = 86383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58161 / 86383 ti = "17/58161/86383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58161/86383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58161 ÷ 217
    58161 ÷ 131072     		x = 0.443733215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86383 ÷ 217
    86383 ÷ 131072     		y = 0.659049987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443733215332031 × 2 - 1) × π
    -0.112533569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35353463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659049987792969 × 2 - 1) × π
    -0.318099975585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.999340546379311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35353463} λ = -0.35353463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999340546379311))-π/2
    2×atan(0.368122120610023)-π/2
    2×0.352727156307795-π/2
    0.70545431261559-1.57079632675     		φ = -0.86534201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35353463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.256042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86534201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.580445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58161 KachelY 86383 -0.35353463 -0.86534201 -20.256042 -49.580445
    Oben rechts KachelX + 1 58162 KachelY 86383 -0.35348670 -0.86534201 -20.253296 -49.580445
    Unten links KachelX 58161 KachelY + 1 86384 -0.35353463 -0.86537309 -20.256042 -49.582226
    Unten rechts KachelX + 1 58162 KachelY + 1 86384 -0.35348670 -0.86537309 -20.253296 -49.582226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86534201--0.86537309) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86534201--0.86537309) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.86534201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648379775564552 × 6371000     		do = 197.990564477457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(-0.86537309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648356113517158 × 6371000     		du = 197.983338986631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86534201)-sin(-0.86537309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648379775564552-0.648356113517158)×R²
    abs(-0.35348670--0.35353463)×2.36620473936799e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36620473936799e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36620473936799e-05×40589641000000     		ar = 39203.5309465686m²