Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58161 / 39054
↖ ↑ ↗
← N 58.611195°
W 20.256042°		 ← 159.05 m → N 58.611195°
W 20.253296°		 →
↑
159.08 m
↓
↑
159.08 m
↓
N 58.609764°
W 20.256042°		 ← 159.05 m →
25 302 m²		 N 58.609764°
W 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443737030029297 y=0.297962188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443737030029297 × 217)
    floor (0.443737030029297 × 131072)
    floor (58161.5)     		tx = 58161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297962188720703 × 217)
    floor (0.297962188720703 × 131072)
    floor (39054.5)     		ty = 39054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58161 / 39054 ti = "17/58161/39054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58161/39054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58161 ÷ 217
    58161 ÷ 131072     		x = 0.443733215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39054 ÷ 217
    39054 ÷ 131072     		y = 0.297958374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443733215332031 × 2 - 1) × π
    -0.112533569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35353463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297958374023438 × 2 - 1) × π
    0.404083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26946497573833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35353463} λ = -0.35353463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26946497573833))-π/2
    2×atan(3.55894792940027)-π/2
    2×1.29687732774509-π/2
    2.59375465549018-1.57079632675     		φ = 1.02295833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35353463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.256042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02295833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58161 KachelY 39054 -0.35353463 1.02295833 -20.256042 58.611195
    Oben rechts KachelX + 1 58162 KachelY 39054 -0.35348670 1.02295833 -20.253296 58.611195
    Unten links KachelX 58161 KachelY + 1 39055 -0.35353463 1.02293336 -20.256042 58.609764
    Unten rechts KachelX + 1 58162 KachelY + 1 39055 -0.35348670 1.02293336 -20.253296 58.609764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02295833-1.02293336) × R
    2.49700000001241e-05 × 6371000     		dl = 159.08387000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02295833-1.02293336) × R
    2.49700000001241e-05 × 6371000     		dr = 159.08387000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(1.02295833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.52084284803047 × 6371000     		do = 159.045629385663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35353463--0.35348670) × cos(1.02293336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.520864163573023 × 6371000     		du = 159.052138343008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02295833)-sin(1.02293336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52084284803047-0.520864163573023)×R²
    abs(-0.35348670--0.35353463)×2.13155425521361e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13155425521361e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13155425521361e-05×40589641000000     		ar = 25302.1119658548m²