Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58160 / 86512
↖ ↑ ↗
← S 49.809632°
W 20.258789°		 ← 197.10 m → S 49.809632°
W 20.256042°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 49.811404°
W 20.258789°		 ← 197.09 m →
38 839 m²		 S 49.811404°
W 20.256042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443729400634766 y=0.660037994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443729400634766 × 217)
    floor (0.443729400634766 × 131072)
    floor (58160.5)     		tx = 58160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660037994384766 × 217)
    floor (0.660037994384766 × 131072)
    floor (86512.5)     		ty = 86512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58160 / 86512 ti = "17/58160/86512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58160/86512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58160 ÷ 217
    58160 ÷ 131072     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86512 ÷ 217
    86512 ÷ 131072     		y = 0.6600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0055244064303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0055244064303))-π/2
    2×atan(0.365852728966474)-π/2
    2×0.350727128411988-π/2
    0.701454256823976-1.57079632675     		φ = -0.86934207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86934207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.809632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58160 KachelY 86512 -0.35358257 -0.86934207 -20.258789 -49.809632
    Oben rechts KachelX + 1 58161 KachelY 86512 -0.35353463 -0.86934207 -20.256042 -49.809632
    Unten links KachelX 58160 KachelY + 1 86513 -0.35358257 -0.86937300 -20.258789 -49.811404
    Unten rechts KachelX + 1 58161 KachelY + 1 86513 -0.35353463 -0.86937300 -20.256042 -49.811404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86934207--0.86937300) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86934207--0.86937300) × R
    3.09299999999846e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35353463) × cos(-0.86934207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645329282577622 × 6371000     		do = 197.10017367481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35353463) × cos(-0.86937300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645305654702112 × 6371000     		du = 197.092957113448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86934207)-sin(-0.86937300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645329282577622-0.645305654702112)×R²
    abs(-0.35353463--0.35358257)×2.36278755094688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36278755094688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36278755094688e-05×40589641000000     		ar = 38838.8696098446m²