Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58160 / 38352
↖ ↑ ↗
← N 59.601095°
W 20.258789°		 ← 154.55 m → N 59.601095°
W 20.256042°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
N 59.599706°
W 20.258789°		 ← 154.56 m →
23 878 m²		 N 59.599706°
W 20.256042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443729400634766 y=0.292606353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443729400634766 × 217)
    floor (0.443729400634766 × 131072)
    floor (58160.5)     		tx = 58160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292606353759766 × 217)
    floor (0.292606353759766 × 131072)
    floor (38352.5)     		ty = 38352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58160 / 38352 ti = "17/58160/38352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58160/38352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58160 ÷ 217
    58160 ÷ 131072     		x = 0.4437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38352 ÷ 217
    38352 ÷ 131072     		y = 0.2926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35358257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2926025390625 × 2 - 1) × π
    0.414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30311667927161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35358257} λ = -0.35358257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30311667927161))-π/2
    2×atan(3.68075052821794)-π/2
    2×1.30551584043885-π/2
    2.6110316808777-1.57079632675     		φ = 1.04023535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35358257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04023535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.601095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58160 KachelY 38352 -0.35358257 1.04023535 -20.258789 59.601095
    Oben rechts KachelX + 1 58161 KachelY 38352 -0.35353463 1.04023535 -20.256042 59.601095
    Unten links KachelX 58160 KachelY + 1 38353 -0.35358257 1.04021110 -20.258789 59.599706
    Unten rechts KachelX + 1 58161 KachelY + 1 38353 -0.35353463 1.04021110 -20.256042 59.599706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04023535-1.04021110) × R
    2.42499999998369e-05 × 6371000     		dl = 154.496749998961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04023535-1.04021110) × R
    2.42499999998369e-05 × 6371000     		dr = 154.496749998961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35358257--0.35353463) × cos(1.04023535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.506017276380096 × 6371000     		do = 154.550701091074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35358257--0.35353463) × cos(1.04021110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50603819242236 × 6371000     		du = 154.55708938876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04023535)-sin(1.04021110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506017276380096-0.50603819242236)×R²
    abs(-0.35353463--0.35358257)×2.0916042263619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0916042263619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0916042263619e-05×40589641000000     		ar = 23878.0745154246m²