Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58159 / 86511
↖ ↑ ↗
← S 49.807859°
W 20.261536°		 ← 197.11 m → S 49.807859°
W 20.258789°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.809632°
W 20.261536°		 ← 197.10 m →
38 853 m²		 S 49.809632°
W 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443721771240234 y=0.660030364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443721771240234 × 217)
    floor (0.443721771240234 × 131072)
    floor (58159.5)     		tx = 58159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660030364990234 × 217)
    floor (0.660030364990234 × 131072)
    floor (86511.5)     		ty = 86511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58159 / 86511 ti = "17/58159/86511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58159/86511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58159 ÷ 217
    58159 ÷ 131072     		x = 0.443717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86511 ÷ 217
    86511 ÷ 131072     		y = 0.660026550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443717956542969 × 2 - 1) × π
    -0.112564086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35363051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660026550292969 × 2 - 1) × π
    -0.320053100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00547646953068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35363051} λ = -0.35363051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00547646953068))-π/2
    2×atan(0.365870267232379)-π/2
    2×0.350742596237715-π/2
    0.701485192475429-1.57079632675     		φ = -0.86931113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35363051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.261536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86931113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.807859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58159 KachelY 86511 -0.35363051 -0.86931113 -20.261536 -49.807859
    Oben rechts KachelX + 1 58160 KachelY 86511 -0.35358257 -0.86931113 -20.258789 -49.807859
    Unten links KachelX 58159 KachelY + 1 86512 -0.35363051 -0.86934207 -20.261536 -49.809632
    Unten rechts KachelX + 1 58160 KachelY + 1 86512 -0.35358257 -0.86934207 -20.258789 -49.809632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86931113--0.86934207) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dl = 197.118739999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86931113--0.86934207) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dr = 197.118739999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35363051--0.35358257) × cos(-0.86931113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645352917474613 × 6371000     		do = 197.107392380942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35363051--0.35358257) × cos(-0.86934207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645329282577622 × 6371000     		du = 197.100173675038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86931113)-sin(-0.86934207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645352917474613-0.645329282577622)×R²
    abs(-0.35358257--0.35363051)×2.36348969911981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36348969911981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36348969911981e-05×40589641000000     		ar = 38852.8493627426m²