Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58157 / 38565
↖ ↑ ↗
← N 59.303758°
W 20.267029°		 ← 155.88 m → N 59.303758°
W 20.264282°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 59.302356°
W 20.267029°		 ← 155.89 m →
24 302 m²		 N 59.302356°
W 20.264282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443706512451172 y=0.294231414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443706512451172 × 217)
    floor (0.443706512451172 × 131072)
    floor (58157.5)     		tx = 58157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294231414794922 × 217)
    floor (0.294231414794922 × 131072)
    floor (38565.5)     		ty = 38565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58157 / 38565 ti = "17/58157/38565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58157/38565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58157 ÷ 217
    58157 ÷ 131072     		x = 0.443702697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38565 ÷ 217
    38565 ÷ 131072     		y = 0.294227600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443702697753906 × 2 - 1) × π
    -0.112594604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35372638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294227600097656 × 2 - 1) × π
    0.411544799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.29290611965253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35372638} λ = -0.35372638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29290611965253))-π/2
    2×atan(3.64335922343363)-π/2
    2×1.30292108319953-π/2
    2.60584216639907-1.57079632675     		φ = 1.03504584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35372638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.267029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03504584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.303758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58157 KachelY 38565 -0.35372638 1.03504584 -20.267029 59.303758
    Oben rechts KachelX + 1 58158 KachelY 38565 -0.35367845 1.03504584 -20.264282 59.303758
    Unten links KachelX 58157 KachelY + 1 38566 -0.35372638 1.03502137 -20.267029 59.302356
    Unten rechts KachelX + 1 58158 KachelY + 1 38566 -0.35367845 1.03502137 -20.264282 59.302356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03504584-1.03502137) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dl = 155.898370000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03504584-1.03502137) × R
    2.44700000000542e-05 × 6371000     		dr = 155.898370000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35372638--0.35367845) × cos(1.03504584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510486516035438 × 6371000     		do = 155.883198824304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35372638--0.35367845) × cos(1.03502137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510507557287101 × 6371000     		du = 155.889624023626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03504584)-sin(1.03502137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510486516035438-0.510507557287101)×R²
    abs(-0.35367845--0.35372638)×2.10412516633562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10412516633562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10412516633562e-05×40589641000000     		ar = 24302.4374474101m²