Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58156 / 86380
↖ ↑ ↗
← S 49.575103°
W 20.269775°		 ← 198.05 m → S 49.575103°
W 20.267029°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.576884°
W 20.269775°		 ← 198.05 m →
39 216 m²		 S 49.576884°
W 20.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443698883056641 y=0.659030914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443698883056641 × 217)
    floor (0.443698883056641 × 131072)
    floor (58156.5)     		tx = 58156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659030914306641 × 217)
    floor (0.659030914306641 × 131072)
    floor (86380.5)     		ty = 86380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58156 / 86380 ti = "17/58156/86380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58156/86380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58156 ÷ 217
    58156 ÷ 131072     		x = 0.443695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86380 ÷ 217
    86380 ÷ 131072     		y = 0.659027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659027099609375 × 2 - 1) × π
    -0.31805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99919673568045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35377432} λ = -0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99919673568045))-π/2
    2×atan(0.368175064316298)-π/2
    2×0.352773780834133-π/2
    0.705547561668267-1.57079632675     		φ = -0.86524877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86524877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.575103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58156 KachelY 86380 -0.35377432 -0.86524877 -20.269775 -49.575103
    Oben rechts KachelX + 1 58157 KachelY 86380 -0.35372638 -0.86524877 -20.267029 -49.575103
    Unten links KachelX 58156 KachelY + 1 86381 -0.35377432 -0.86527985 -20.269775 -49.576884
    Unten rechts KachelX + 1 58157 KachelY + 1 86381 -0.35372638 -0.86527985 -20.267029 -49.576884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86524877--0.86527985) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86524877--0.86527985) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35377432--0.35372638) × cos(-0.86524877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648450757948763 × 6371000     		do = 198.053552599932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35377432--0.35372638) × cos(-0.86527985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648427097780377 × 6371000     		du = 198.046326175494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86524877)-sin(-0.86527985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648450757948763-0.648427097780377)×R²
    abs(-0.35372638--0.35377432)×2.36601683858417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36601683858417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36601683858417e-05×40589641000000     		ar = 39216.0031753095m²