Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58155 / 38671
↖ ↑ ↗
← N 59.154812°
W 20.272522°		 ← 156.60 m → N 59.154812°
W 20.269775°		 →
↑
156.60 m
↓
↑
156.60 m
↓
N 59.153403°
W 20.272522°		 ← 156.60 m →
24 524 m²		 N 59.153403°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443691253662109 y=0.295040130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443691253662109 × 217)
    floor (0.443691253662109 × 131072)
    floor (58155.5)     		tx = 58155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295040130615234 × 217)
    floor (0.295040130615234 × 131072)
    floor (38671.5)     		ty = 38671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58155 / 38671 ti = "17/58155/38671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58155/38671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58155 ÷ 217
    58155 ÷ 131072     		x = 0.443687438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38671 ÷ 217
    38671 ÷ 131072     		y = 0.295036315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443687438964844 × 2 - 1) × π
    -0.112625122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35382226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295036315917969 × 2 - 1) × π
    0.409927368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.28782480829281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35382226} λ = -0.35382226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28782480829281))-π/2
    2×atan(3.62489313652504)-π/2
    2×1.30162127660614-π/2
    2.60324255321229-1.57079632675     		φ = 1.03244623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35382226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.272522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03244623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.154812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58155 KachelY 38671 -0.35382226 1.03244623 -20.272522 59.154812
    Oben rechts KachelX + 1 58156 KachelY 38671 -0.35377432 1.03244623 -20.269775 59.154812
    Unten links KachelX 58155 KachelY + 1 38672 -0.35382226 1.03242165 -20.272522 59.153403
    Unten rechts KachelX + 1 58156 KachelY + 1 38672 -0.35377432 1.03242165 -20.269775 59.153403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03244623-1.03242165) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dl = 156.599179998915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03244623-1.03242165) × R
    2.45799999998297e-05 × 6371000     		dr = 156.599179998915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35382226--0.35377432) × cos(1.03244623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51272015620738 × 6371000     		do = 156.597933122633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35382226--0.35377432) × cos(1.03242165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512741259353764 × 6371000     		du = 156.604378566734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03244623)-sin(1.03242165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51272015620738-0.512741259353764)×R²
    abs(-0.35377432--0.35382226)×2.11031463844824e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11031463844824e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11031463844824e-05×40589641000000     		ar = 24523.6125935139m²