Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58155 / 38562
↖ ↑ ↗
← N 59.307964°
W 20.272522°		 ← 155.90 m → N 59.307964°
W 20.269775°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 59.306562°
W 20.272522°		 ← 155.90 m →
24 305 m²		 N 59.306562°
W 20.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443691253662109 y=0.294208526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443691253662109 × 217)
    floor (0.443691253662109 × 131072)
    floor (58155.5)     		tx = 58155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294208526611328 × 217)
    floor (0.294208526611328 × 131072)
    floor (38562.5)     		ty = 38562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58155 / 38562 ti = "17/58155/38562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58155/38562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58155 ÷ 217
    58155 ÷ 131072     		x = 0.443687438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38562 ÷ 217
    38562 ÷ 131072     		y = 0.294204711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443687438964844 × 2 - 1) × π
    -0.112625122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35382226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294204711914062 × 2 - 1) × π
    0.411590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29304993035139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35382226} λ = -0.35382226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29304993035139))-π/2
    2×atan(3.64388321514665)-π/2
    2×1.30295778764134-π/2
    2.60591557528269-1.57079632675     		φ = 1.03511925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35382226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.272522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03511925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.307964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58155 KachelY 38562 -0.35382226 1.03511925 -20.272522 59.307964
    Oben rechts KachelX + 1 58156 KachelY 38562 -0.35377432 1.03511925 -20.269775 59.307964
    Unten links KachelX 58155 KachelY + 1 38563 -0.35382226 1.03509478 -20.272522 59.306562
    Unten rechts KachelX + 1 58156 KachelY + 1 38563 -0.35377432 1.03509478 -20.269775 59.306562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03511925-1.03509478) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dl = 155.89836999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03511925-1.03509478) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dr = 155.89836999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35382226--0.35377432) × cos(1.03511925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510423390446481 × 6371000     		do = 155.896441740504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35382226--0.35377432) × cos(1.03509478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510444432615115 × 6371000     		du = 155.90286856043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03511925)-sin(1.03509478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510423390446481-0.510444432615115)×R²
    abs(-0.35377432--0.35382226)×2.10421686340778e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10421686340778e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10421686340778e-05×40589641000000     		ar = 24304.5021225623m²