Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58154 / 85865
↖ ↑ ↗
← S 48.649242°
W 20.275268°		 ← 201.74 m → S 48.649242°
W 20.272522°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.651057°
W 20.275268°		 ← 201.74 m →
40 705 m²		 S 48.651057°
W 20.272522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443683624267578 y=0.655101776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443683624267578 × 217)
    floor (0.443683624267578 × 131072)
    floor (58154.5)     		tx = 58154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655101776123047 × 217)
    floor (0.655101776123047 × 131072)
    floor (85865.5)     		ty = 85865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58154 / 85865 ti = "17/58154/85865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58154/85865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58154 ÷ 217
    58154 ÷ 131072     		x = 0.443679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85865 ÷ 217
    85865 ÷ 131072     		y = 0.655097961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443679809570312 × 2 - 1) × π
    -0.112640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35387019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655097961425781 × 2 - 1) × π
    -0.310195922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.974509232376122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35387019} λ = -0.35387019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974509232376122))-π/2
    2×atan(0.377377512789621)-π/2
    2×0.360853434042843-π/2
    0.721706868085687-1.57079632675     		φ = -0.84908946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35387019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.275268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84908946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.649242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58154 KachelY 85865 -0.35387019 -0.84908946 -20.275268 -48.649242
    Oben rechts KachelX + 1 58155 KachelY 85865 -0.35382226 -0.84908946 -20.272522 -48.649242
    Unten links KachelX 58154 KachelY + 1 85866 -0.35387019 -0.84912113 -20.275268 -48.651057
    Unten rechts KachelX + 1 58155 KachelY + 1 85866 -0.35382226 -0.84912113 -20.272522 -48.651057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84908946--0.84912113) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84908946--0.84912113) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35387019--0.35382226) × cos(-0.84908946) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660666943060139 × 6371000     		do = 201.742598886628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35387019--0.35382226) × cos(-0.84912113) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660643168720055 × 6371000     		du = 201.735339105878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84908946)-sin(-0.84912113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660666943060139-0.660643168720055)×R²
    abs(-0.35382226--0.35387019)×2.37743400838264e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37743400838264e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37743400838264e-05×40589641000000     		ar = 40704.7850298993m²