Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58153 / 38664
↖ ↑ ↗
← N 59.164668°
W 20.278015°		 ← 156.55 m → N 59.164668°
W 20.275268°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.163260°
W 20.278015°		 ← 156.56 m →
24 507 m²		 N 59.163260°
W 20.275268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443675994873047 y=0.294986724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443675994873047 × 217)
    floor (0.443675994873047 × 131072)
    floor (58153.5)     		tx = 58153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294986724853516 × 217)
    floor (0.294986724853516 × 131072)
    floor (38664.5)     		ty = 38664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58153 / 38664 ti = "17/58153/38664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58153/38664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58153 ÷ 217
    58153 ÷ 131072     		x = 0.443672180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38664 ÷ 217
    38664 ÷ 131072     		y = 0.29498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443672180175781 × 2 - 1) × π
    -0.112655639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35391813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29498291015625 × 2 - 1) × π
    0.4100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28816036659015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35391813} λ = -0.35391813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28816036659015))-π/2
    2×atan(3.62610970359715)-π/2
    2×1.30170728796721-π/2
    2.60341457593442-1.57079632675     		φ = 1.03261825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35391813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.278015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03261825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.164668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58153 KachelY 38664 -0.35391813 1.03261825 -20.278015 59.164668
    Oben rechts KachelX + 1 58154 KachelY 38664 -0.35387019 1.03261825 -20.275268 59.164668
    Unten links KachelX 58153 KachelY + 1 38665 -0.35391813 1.03259368 -20.278015 59.163260
    Unten rechts KachelX + 1 58154 KachelY + 1 38665 -0.35387019 1.03259368 -20.275268 59.163260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03261825-1.03259368) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dl = 156.535470000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03261825-1.03259368) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dr = 156.535470000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35391813--0.35387019) × cos(1.03261825) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512572459855505 × 6371000     		do = 156.552822855066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35391813--0.35387019) × cos(1.03259368) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.512593556583218 × 6371000     		du = 156.55926633874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03261825)-sin(1.03259368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512572459855505-0.512593556583218)×R²
    abs(-0.35387019--0.35391813)×2.10967277132212e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10967277132212e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10967277132212e-05×40589641000000     		ar = 24506.5740235877m²