Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58151 / 86504
↖ ↑ ↗
← S 49.795450°
W 20.283508°		 ← 197.12 m → S 49.795450°
W 20.280762°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
S 49.797223°
W 20.283508°		 ← 197.11 m →
38 867 m²		 S 49.797223°
W 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443660736083984 y=0.659976959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443660736083984 × 217)
    floor (0.443660736083984 × 131072)
    floor (58151.5)     		tx = 58151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659976959228516 × 217)
    floor (0.659976959228516 × 131072)
    floor (86504.5)     		ty = 86504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58151 / 86504 ti = "17/58151/86504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58151/86504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58151 ÷ 217
    58151 ÷ 131072     		x = 0.443656921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86504 ÷ 217
    86504 ÷ 131072     		y = 0.65997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443656921386719 × 2 - 1) × π
    -0.112686157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35401400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.3199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00514091123334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35401400} λ = -0.35401400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00514091123334))-π/2
    2×atan(0.365993058636985)-π/2
    2×0.350850886877758-π/2
    0.701701773755516-1.57079632675     		φ = -0.86909455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35401400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.283508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86909455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.795450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58151 KachelY 86504 -0.35401400 -0.86909455 -20.283508 -49.795450
    Oben rechts KachelX + 1 58152 KachelY 86504 -0.35396607 -0.86909455 -20.280762 -49.795450
    Unten links KachelX 58151 KachelY + 1 86505 -0.35401400 -0.86912550 -20.283508 -49.797223
    Unten rechts KachelX + 1 58152 KachelY + 1 86505 -0.35396607 -0.86912550 -20.280762 -49.797223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86909455--0.86912550) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86909455--0.86912550) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35401400--0.35396607) × cos(-0.86909455) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645518344454283 × 6371000     		do = 197.116792064692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35401400--0.35396607) × cos(-0.86912550) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64549470624462 × 6371000     		du = 197.109573853003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86909455)-sin(-0.86912550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645518344454283-0.64549470624462)×R²
    abs(-0.35396607--0.35401400)×2.36382096631127e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36382096631127e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36382096631127e-05×40589641000000     		ar = 38867.2603461269m²