Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58150 / 86366
↖ ↑ ↗
← S 49.550162°
W 20.286255°		 ← 198.15 m → S 49.550162°
W 20.283508°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.551944°
W 20.286255°		 ← 198.15 m →
39 261 m²		 S 49.551944°
W 20.283508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443653106689453 y=0.658924102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443653106689453 × 217)
    floor (0.443653106689453 × 131072)
    floor (58150.5)     		tx = 58150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658924102783203 × 217)
    floor (0.658924102783203 × 131072)
    floor (86366.5)     		ty = 86366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58150 / 86366 ti = "17/58150/86366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58150/86366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58150 ÷ 217
    58150 ÷ 131072     		x = 0.443649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86366 ÷ 217
    86366 ÷ 131072     		y = 0.658920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443649291992188 × 2 - 1) × π
    -0.112701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35406194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658920288085938 × 2 - 1) × π
    -0.317840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99852561908577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35406194} λ = -0.35406194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99852561908577))-π/2
    2×atan(0.368422235642821)-π/2
    2×0.352991429453482-π/2
    0.705982858906964-1.57079632675     		φ = -0.86481347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35406194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86481347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.550162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58150 KachelY 86366 -0.35406194 -0.86481347 -20.286255 -49.550162
    Oben rechts KachelX + 1 58151 KachelY 86366 -0.35401400 -0.86481347 -20.283508 -49.550162
    Unten links KachelX 58150 KachelY + 1 86367 -0.35406194 -0.86484457 -20.286255 -49.551944
    Unten rechts KachelX + 1 58151 KachelY + 1 86367 -0.35401400 -0.86484457 -20.283508 -49.551944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86481347--0.86484457) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dl = 198.138100000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86481347--0.86484457) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dr = 198.138100000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35406194--0.35401400) × cos(-0.86481347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648782071501072 × 6371000     		do = 198.154744287047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35406194--0.35401400) × cos(-0.86484457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64875840488785 × 6371000     		du = 198.147515894191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86481347)-sin(-0.86484457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648782071501072-0.64875840488785)×R²
    abs(-0.35401400--0.35406194)×2.36666132225061e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36666132225061e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36666132225061e-05×40589641000000     		ar = 39261.2884323657m²