Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58149 / 38670
↖ ↑ ↗
← N 59.156219°
W 20.289002°		 ← 156.59 m → N 59.156219°
W 20.286255°		 →
↑
156.54 m
↓
↑
156.54 m
↓
N 59.154812°
W 20.289002°		 ← 156.60 m →
24 513 m²		 N 59.154812°
W 20.286255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443645477294922 y=0.295032501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443645477294922 × 217)
    floor (0.443645477294922 × 131072)
    floor (58149.5)     		tx = 58149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295032501220703 × 217)
    floor (0.295032501220703 × 131072)
    floor (38670.5)     		ty = 38670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58149 / 38670 ti = "17/58149/38670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58149/38670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58149 ÷ 217
    58149 ÷ 131072     		x = 0.443641662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38670 ÷ 217
    38670 ÷ 131072     		y = 0.295028686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443641662597656 × 2 - 1) × π
    -0.112716674804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35410988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295028686523438 × 2 - 1) × π
    0.409942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28787274519243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35410988} λ = -0.35410988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28787274519243))-π/2
    2×atan(3.62506690682843)-π/2
    2×1.30163356546066-π/2
    2.60326713092132-1.57079632675     		φ = 1.03247080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35410988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.289002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03247080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.156219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58149 KachelY 38670 -0.35410988 1.03247080 -20.289002 59.156219
    Oben rechts KachelX + 1 58150 KachelY 38670 -0.35406194 1.03247080 -20.286255 59.156219
    Unten links KachelX 58149 KachelY + 1 38671 -0.35410988 1.03244623 -20.289002 59.154812
    Unten rechts KachelX + 1 58150 KachelY + 1 38671 -0.35406194 1.03244623 -20.286255 59.154812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03247080-1.03244623) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dl = 156.535470000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03247080-1.03244623) × R
    2.45700000001126e-05 × 6371000     		dr = 156.535470000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35410988--0.35406194) × cos(1.03247080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512699061336906 × 6371000     		do = 156.591490206027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35410988--0.35406194) × cos(1.03244623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.51272015620738 × 6371000     		du = 156.597933122452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03247080)-sin(1.03244623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512699061336906-0.51272015620738)×R²
    abs(-0.35406194--0.35410988)×2.1094870474303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1094870474303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1094870474303e-05×40589641000000     		ar = 24512.6267911332m²