Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58148 / 86500
↖ ↑ ↗
← S 49.788358°
W 20.291748°		 ← 197.15 m → S 49.788358°
W 20.289002°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
S 49.790131°
W 20.291748°		 ← 197.14 m →
38 873 m²		 S 49.790131°
W 20.289002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443637847900391 y=0.659946441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443637847900391 × 217)
    floor (0.443637847900391 × 131072)
    floor (58148.5)     		tx = 58148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659946441650391 × 217)
    floor (0.659946441650391 × 131072)
    floor (86500.5)     		ty = 86500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58148 / 86500 ti = "17/58148/86500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58148/86500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58148 ÷ 217
    58148 ÷ 131072     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86500 ÷ 217
    86500 ÷ 131072     		y = 0.659942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.31988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00494916363486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00494916363486))-π/2
    2×atan(0.366063243655728)-π/2
    2×0.350912779705415-π/2
    0.701825559410829-1.57079632675     		φ = -0.86897077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86897077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.788358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58148 KachelY 86500 -0.35415781 -0.86897077 -20.291748 -49.788358
    Oben rechts KachelX + 1 58149 KachelY 86500 -0.35410988 -0.86897077 -20.289002 -49.788358
    Unten links KachelX 58148 KachelY + 1 86501 -0.35415781 -0.86900172 -20.291748 -49.790131
    Unten rechts KachelX + 1 58149 KachelY + 1 86501 -0.35410988 -0.86900172 -20.289002 -49.790131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86897077--0.86900172) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86897077--0.86900172) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86897077) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		do = 197.145658359532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86900172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645589240099424 × 6371000     		du = 197.138440903038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86897077)-sin(-0.86900172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645612875835976-0.645589240099424)×R²
    abs(-0.35410988--0.35415781)×2.36357365523965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36357365523965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36357365523965e-05×40589641000000     		ar = 38872.9523474768m²