Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58148 / 86381
↖ ↑ ↗
← S 49.576884°
W 20.291748°		 ← 198.01 m → S 49.576884°
W 20.289002°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.578664°
W 20.291748°		 ← 198 m →
39 206 m²		 S 49.578664°
W 20.289002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443637847900391 y=0.659038543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443637847900391 × 217)
    floor (0.443637847900391 × 131072)
    floor (58148.5)     		tx = 58148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659038543701172 × 217)
    floor (0.659038543701172 × 131072)
    floor (86381.5)     		ty = 86381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58148 / 86381 ti = "17/58148/86381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58148/86381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58148 ÷ 217
    58148 ÷ 131072     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86381 ÷ 217
    86381 ÷ 131072     		y = 0.659034729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659034729003906 × 2 - 1) × π
    -0.318069458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.999244672580071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999244672580071))-π/2
    2×atan(0.368157415568214)-π/2
    2×0.352758238758185-π/2
    0.705516477516371-1.57079632675     		φ = -0.86527985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86527985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.576884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58148 KachelY 86381 -0.35415781 -0.86527985 -20.291748 -49.576884
    Oben rechts KachelX + 1 58149 KachelY 86381 -0.35410988 -0.86527985 -20.289002 -49.576884
    Unten links KachelX 58148 KachelY + 1 86382 -0.35415781 -0.86531093 -20.291748 -49.578664
    Unten rechts KachelX + 1 58149 KachelY + 1 86382 -0.35410988 -0.86531093 -20.289002 -49.578664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86527985--0.86531093) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86527985--0.86531093) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86527985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648427097780377 × 6371000     		do = 198.005014885346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86531093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648403436985632 × 6371000     		du = 197.997789777031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86527985)-sin(-0.86531093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648427097780377-0.648403436985632)×R²
    abs(-0.35410988--0.35415781)×2.36607947448064e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36607947448064e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36607947448064e-05×40589641000000     		ar = 39206.3923197419m²