Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58148 / 86310
↖ ↑ ↗
← S 49.450271°
W 20.291748°		 ← 198.52 m → S 49.450271°
W 20.289002°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.452057°
W 20.291748°		 ← 198.51 m →
39 422 m²		 S 49.452057°
W 20.289002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443637847900391 y=0.658496856689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443637847900391 × 217)
    floor (0.443637847900391 × 131072)
    floor (58148.5)     		tx = 58148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658496856689453 × 217)
    floor (0.658496856689453 × 131072)
    floor (86310.5)     		ty = 86310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58148 / 86310 ti = "17/58148/86310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58148/86310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58148 ÷ 217
    58148 ÷ 131072     		x = 0.443634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86310 ÷ 217
    86310 ÷ 131072     		y = 0.658493041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.11273193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35415781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658493041992188 × 2 - 1) × π
    -0.316986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.995841152707047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35415781} λ = -0.35415781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995841152707047))-π/2
    2×atan(0.369412581427827)-π/2
    2×0.353863135905862-π/2
    0.707726271811724-1.57079632675     		φ = -0.86307005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35415781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.291748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86307005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.450271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58148 KachelY 86310 -0.35415781 -0.86307005 -20.291748 -49.450271
    Oben rechts KachelX + 1 58149 KachelY 86310 -0.35410988 -0.86307005 -20.289002 -49.450271
    Unten links KachelX 58148 KachelY + 1 86311 -0.35415781 -0.86310122 -20.291748 -49.452057
    Unten rechts KachelX + 1 58149 KachelY + 1 86311 -0.35410988 -0.86310122 -20.289002 -49.452057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86307005--0.86310122) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86307005--0.86310122) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86307005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650107782581956 × 6371000     		do = 198.518232208146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35415781--0.35410988) × cos(-0.86310122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650084097990883 × 6371000     		du = 198.510999833336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86307005)-sin(-0.86310122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650107782581956-0.650084097990883)×R²
    abs(-0.35410988--0.35415781)×2.36845910727146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36845910727146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36845910727146e-05×40589641000000     		ar = 39421.8404070604m²