Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58147 / 86501
↖ ↑ ↗
← S 49.790131°
W 20.294495°		 ← 197.18 m → S 49.790131°
W 20.291748°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 49.791904°
W 20.294495°		 ← 197.17 m →
38 867 m²		 S 49.791904°
W 20.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443630218505859 y=0.659954071044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443630218505859 × 217)
    floor (0.443630218505859 × 131072)
    floor (58147.5)     		tx = 58147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659954071044922 × 217)
    floor (0.659954071044922 × 131072)
    floor (86501.5)     		ty = 86501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58147 / 86501 ti = "17/58147/86501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58147/86501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58147 ÷ 217
    58147 ÷ 131072     		x = 0.443626403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86501 ÷ 217
    86501 ÷ 131072     		y = 0.659950256347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443626403808594 × 2 - 1) × π
    -0.112747192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35420575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659950256347656 × 2 - 1) × π
    -0.319900512695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.00499710053448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35420575} λ = -0.35420575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00499710053448))-π/2
    2×atan(0.366045696139352)-π/2
    2×0.350897305648795-π/2
    0.701794611297589-1.57079632675     		φ = -0.86900172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35420575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.294495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86900172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.790131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58147 KachelY 86501 -0.35420575 -0.86900172 -20.294495 -49.790131
    Oben rechts KachelX + 1 58148 KachelY 86501 -0.35415781 -0.86900172 -20.291748 -49.790131
    Unten links KachelX 58147 KachelY + 1 86502 -0.35420575 -0.86903266 -20.294495 -49.791904
    Unten rechts KachelX + 1 58148 KachelY + 1 86502 -0.35415781 -0.86903266 -20.291748 -49.791904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86900172--0.86903266) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86900172--0.86903266) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35420575--0.35415781) × cos(-0.86900172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645589240099424 × 6371000     		do = 197.179571393275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35420575--0.35415781) × cos(-0.86903266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		du = 197.17235457462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86900172)-sin(-0.86903266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645589240099424-0.645565611381508)×R²
    abs(-0.35415781--0.35420575)×2.36287179158357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36287179158357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36287179158357e-05×40589641000000     		ar = 38867.0773847629m²