Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58147 / 28379
↖ ↑ ↗
← N 70.877990°
W 20.294495°		 ← 100.05 m → N 70.877990°
W 20.291748°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.877091°
W 20.294495°		 ← 100.06 m →
10 008 m²		 N 70.877091°
W 20.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443630218505859 y=0.216518402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443630218505859 × 217)
    floor (0.443630218505859 × 131072)
    floor (58147.5)     		tx = 58147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216518402099609 × 217)
    floor (0.216518402099609 × 131072)
    floor (28379.5)     		ty = 28379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58147 / 28379 ti = "17/58147/28379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58147/28379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58147 ÷ 217
    58147 ÷ 131072     		x = 0.443626403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28379 ÷ 217
    28379 ÷ 131072     		y = 0.216514587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443626403808594 × 2 - 1) × π
    -0.112747192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35420575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216514587402344 × 2 - 1) × π
    0.566970825195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.78119137918243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35420575} λ = -0.35420575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78119137918243))-π/2
    2×atan(5.93692533612751)-π/2
    2×1.40392531381474-π/2
    2.80785062762948-1.57079632675     		φ = 1.23705430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35420575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.294495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23705430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.877990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58147 KachelY 28379 -0.35420575 1.23705430 -20.294495 70.877990
    Oben rechts KachelX + 1 58148 KachelY 28379 -0.35415781 1.23705430 -20.291748 70.877990
    Unten links KachelX 58147 KachelY + 1 28380 -0.35420575 1.23703860 -20.294495 70.877091
    Unten rechts KachelX + 1 58148 KachelY + 1 28380 -0.35415781 1.23703860 -20.291748 70.877091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23705430-1.23703860) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23705430-1.23703860) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35420575--0.35415781) × cos(1.23705430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327580867185097 × 6371000     		do = 100.051628769785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35420575--0.35415781) × cos(1.23703860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327595700868102 × 6371000     		du = 100.056159358393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23705430)-sin(1.23703860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327580867185097-0.327595700868102)×R²
    abs(-0.35415781--0.35420575)×1.48336830042561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48336830042561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48336830042561e-05×40589641000000     		ar = 10007.8607376751m²