Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58146 / 86370
↖ ↑ ↗
← S 49.557289°
W 20.297241°		 ← 198.13 m → S 49.557289°
W 20.294495°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.559071°
W 20.297241°		 ← 198.12 m →
39 256 m²		 S 49.559071°
W 20.294495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443622589111328 y=0.658954620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443622589111328 × 217)
    floor (0.443622589111328 × 131072)
    floor (58146.5)     		tx = 58146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658954620361328 × 217)
    floor (0.658954620361328 × 131072)
    floor (86370.5)     		ty = 86370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58146 / 86370 ti = "17/58146/86370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58146/86370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58146 ÷ 217
    58146 ÷ 131072     		x = 0.443618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86370 ÷ 217
    86370 ÷ 131072     		y = 0.658950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443618774414062 × 2 - 1) × π
    -0.112762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35425369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658950805664062 × 2 - 1) × π
    -0.317901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.99871736668425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35425369} λ = -0.35425369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99871736668425))-π/2
    2×atan(0.368351598336393)-π/2
    2×0.352929232789238-π/2
    0.705858465578475-1.57079632675     		φ = -0.86493786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35425369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.297241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86493786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.557289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58146 KachelY 86370 -0.35425369 -0.86493786 -20.297241 -49.557289
    Oben rechts KachelX + 1 58147 KachelY 86370 -0.35420575 -0.86493786 -20.294495 -49.557289
    Unten links KachelX 58146 KachelY + 1 86371 -0.35425369 -0.86496896 -20.297241 -49.559071
    Unten rechts KachelX + 1 58147 KachelY + 1 86371 -0.35420575 -0.86496896 -20.294495 -49.559071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86493786--0.86496896) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dl = 198.138100000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86493786--0.86496896) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dr = 198.138100000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35425369--0.35420575) × cos(-0.86493786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		do = 198.125831890204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35425369--0.35420575) × cos(-0.86496896) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648663739771084 × 6371000     		du = 198.11860273085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86493786)-sin(-0.86496896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64868740889391-0.648663739771084)×R²
    abs(-0.35420575--0.35425369)×2.366912282592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.366912282592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.366912282592e-05×40589641000000     		ar = 39255.5597088153m²