Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58146 / 28382
↖ ↑ ↗
← N 70.875291°
W 20.297241°		 ← 100.07 m → N 70.875291°
W 20.294495°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.874391°
W 20.297241°		 ← 100.07 m →
10 016 m²		 N 70.874391°
W 20.294495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443622589111328 y=0.216541290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443622589111328 × 217)
    floor (0.443622589111328 × 131072)
    floor (58146.5)     		tx = 58146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216541290283203 × 217)
    floor (0.216541290283203 × 131072)
    floor (28382.5)     		ty = 28382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58146 / 28382 ti = "17/58146/28382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58146/28382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58146 ÷ 217
    58146 ÷ 131072     		x = 0.443618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28382 ÷ 217
    28382 ÷ 131072     		y = 0.216537475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443618774414062 × 2 - 1) × π
    -0.112762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35425369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216537475585938 × 2 - 1) × π
    0.566925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78104756848357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35425369} λ = -0.35425369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78104756848357))-π/2
    2×atan(5.9360716041352)-π/2
    2×1.40390175739775-π/2
    2.80780351479549-1.57079632675     		φ = 1.23700719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35425369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.297241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23700719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.875291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58146 KachelY 28382 -0.35425369 1.23700719 -20.297241 70.875291
    Oben rechts KachelX + 1 58147 KachelY 28382 -0.35420575 1.23700719 -20.294495 70.875291
    Unten links KachelX 58146 KachelY + 1 28383 -0.35425369 1.23699148 -20.297241 70.874391
    Unten rechts KachelX + 1 58147 KachelY + 1 28383 -0.35420575 1.23699148 -20.294495 70.874391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23700719-1.23699148) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23700719-1.23699148) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35425369--0.35420575) × cos(1.23700719) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327625377439937 × 6371000     		do = 100.065223347422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35425369--0.35420575) × cos(1.23699148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.327640220328657 × 6371000     		du = 100.069756747693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23700719)-sin(1.23699148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327625377439937-0.327640220328657)×R²
    abs(-0.35420575--0.35425369)×1.48428887202789e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48428887202789e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48428887202789e-05×40589641000000     		ar = 10015.595971882m²