Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58145 / 85730
↖ ↑ ↗
← S 48.403680°
W 20.299988°		 ← 202.77 m → S 48.403680°
W 20.297241°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
S 48.405503°
W 20.299988°		 ← 202.76 m →
41 105 m²		 S 48.405503°
W 20.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443614959716797 y=0.654071807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443614959716797 × 217)
    floor (0.443614959716797 × 131072)
    floor (58145.5)     		tx = 58145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654071807861328 × 217)
    floor (0.654071807861328 × 131072)
    floor (85730.5)     		ty = 85730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58145 / 85730 ti = "17/58145/85730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58145/85730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58145 ÷ 217
    58145 ÷ 131072     		x = 0.443611145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85730 ÷ 217
    85730 ÷ 131072     		y = 0.654067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443611145019531 × 2 - 1) × π
    -0.112777709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35430163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.308135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.968037750927414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35430163} λ = -0.35430163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968037750927414))-π/2
    2×atan(0.379827623735669)-π/2
    2×0.36299637543898-π/2
    0.725992750877959-1.57079632675     		φ = -0.84480358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35430163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.299988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84480358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.403680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58145 KachelY 85730 -0.35430163 -0.84480358 -20.299988 -48.403680
    Oben rechts KachelX + 1 58146 KachelY 85730 -0.35425369 -0.84480358 -20.297241 -48.403680
    Unten links KachelX 58145 KachelY + 1 85731 -0.35430163 -0.84483540 -20.299988 -48.405503
    Unten rechts KachelX + 1 58146 KachelY + 1 85731 -0.35425369 -0.84483540 -20.297241 -48.405503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84480358--0.84483540) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84480358--0.84483540) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35430163--0.35425369) × cos(-0.84480358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663878186168153 × 6371000     		do = 202.765486280133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35430163--0.35425369) × cos(-0.84483540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663854389540111 × 6371000     		du = 202.758218177404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84480358)-sin(-0.84483540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663878186168153-0.663854389540111)×R²
    abs(-0.35425369--0.35430163)×2.37966280421942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37966280421942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37966280421942e-05×40589641000000     		ar = 41104.9411042146m²