Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58145 / 28383
↖ ↑ ↗
← N 70.874391°
W 20.299988°		 ← 100.07 m → N 70.874391°
W 20.297241°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 70.873492°
W 20.299988°		 ← 100.07 m →
10 010 m²		 N 70.873492°
W 20.297241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443614959716797 y=0.216548919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443614959716797 × 217)
    floor (0.443614959716797 × 131072)
    floor (58145.5)     		tx = 58145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216548919677734 × 217)
    floor (0.216548919677734 × 131072)
    floor (28383.5)     		ty = 28383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58145 / 28383 ti = "17/58145/28383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58145/28383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58145 ÷ 217
    58145 ÷ 131072     		x = 0.443611145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28383 ÷ 217
    28383 ÷ 131072     		y = 0.216545104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443611145019531 × 2 - 1) × π
    -0.112777709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35430163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216545104980469 × 2 - 1) × π
    0.566909790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.78099963158395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35430163} λ = -0.35430163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78099963158395))-π/2
    2×atan(5.93578705408686)-π/2
    2×1.40389390454746-π/2
    2.80778780909491-1.57079632675     		φ = 1.23699148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35430163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.299988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23699148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.874391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58145 KachelY 28383 -0.35430163 1.23699148 -20.299988 70.874391
    Oben rechts KachelX + 1 58146 KachelY 28383 -0.35425369 1.23699148 -20.297241 70.874391
    Unten links KachelX 58145 KachelY + 1 28384 -0.35430163 1.23697578 -20.299988 70.873492
    Unten rechts KachelX + 1 58146 KachelY + 1 28384 -0.35425369 1.23697578 -20.297241 70.873492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23699148-1.23697578) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23699148-1.23697578) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35430163--0.35425369) × cos(1.23699148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327640220328657 × 6371000     		do = 100.069756747577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35430163--0.35425369) × cos(1.23697578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32765505368854 × 6371000     		du = 100.074287237496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23699148)-sin(1.23697578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327640220328657-0.32765505368854)×R²
    abs(-0.35425369--0.35430163)×1.48333598830597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48333598830597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48333598830597e-05×40589641000000     		ar = 10009.6739782964m²