Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58144 / 86368
↖ ↑ ↗
← S 49.553726°
W 20.302734°		 ← 198.10 m → S 49.553726°
W 20.299988°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 49.555507°
W 20.302734°		 ← 198.09 m →
39 238 m²		 S 49.555507°
W 20.299988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443607330322266 y=0.658939361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443607330322266 × 217)
    floor (0.443607330322266 × 131072)
    floor (58144.5)     		tx = 58144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658939361572266 × 217)
    floor (0.658939361572266 × 131072)
    floor (86368.5)     		ty = 86368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58144 / 86368 ti = "17/58144/86368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58144/86368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58144 ÷ 217
    58144 ÷ 131072     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86368 ÷ 217
    86368 ÷ 131072     		y = 0.658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.31787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.99862149288501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99862149288501))-π/2
    2×atan(0.36838691529654)-π/2
    2×0.352960329986871-π/2
    0.705920659973743-1.57079632675     		φ = -0.86487567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86487567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.553726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58144 KachelY 86368 -0.35434956 -0.86487567 -20.302734 -49.553726
    Oben rechts KachelX + 1 58145 KachelY 86368 -0.35430163 -0.86487567 -20.299988 -49.553726
    Unten links KachelX 58144 KachelY + 1 86369 -0.35434956 -0.86490676 -20.302734 -49.555507
    Unten rechts KachelX + 1 58145 KachelY + 1 86369 -0.35430163 -0.86490676 -20.299988 -49.555507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86487567--0.86490676) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86487567--0.86490676) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35430163) × cos(-0.86487567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648734737647142 × 6371000     		do = 198.09895641957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35430163) × cos(-0.86490676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648711077389319 × 6371000     		du = 198.091731475211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86487567)-sin(-0.86490676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648734737647142-0.648711077389319)×R²
    abs(-0.35430163--0.35434956)×2.36602578229661e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36602578229661e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36602578229661e-05×40589641000000     		ar = 39237.6144174374m²