Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58144 / 28384
↖ ↑ ↗
← N 70.873492°
W 20.302734°		 ← 100.05 m → N 70.873492°
W 20.299988°		 →
↑
100.09 m
↓
↑
100.09 m
↓
N 70.872591°
W 20.302734°		 ← 100.06 m →
10 014 m²		 N 70.872591°
W 20.299988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443607330322266 y=0.216556549072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443607330322266 × 217)
    floor (0.443607330322266 × 131072)
    floor (58144.5)     		tx = 58144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216556549072266 × 217)
    floor (0.216556549072266 × 131072)
    floor (28384.5)     		ty = 28384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58144 / 28384 ti = "17/58144/28384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58144/28384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58144 ÷ 217
    58144 ÷ 131072     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28384 ÷ 217
    28384 ÷ 131072     		y = 0.216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216552734375 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78095169468433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78095169468433))-π/2
    2×atan(5.93550251767863)-π/2
    2×1.40388605134149-π/2
    2.80777210268299-1.57079632675     		φ = 1.23697578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23697578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.873492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58144 KachelY 28384 -0.35434956 1.23697578 -20.302734 70.873492
    Oben rechts KachelX + 1 58145 KachelY 28384 -0.35430163 1.23697578 -20.299988 70.873492
    Unten links KachelX 58144 KachelY + 1 28385 -0.35434956 1.23696007 -20.302734 70.872591
    Unten rechts KachelX + 1 58145 KachelY + 1 28385 -0.35430163 1.23696007 -20.299988 70.872591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23697578-1.23696007) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dl = 100.088410000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23697578-1.23696007) × R
    1.57100000000021e-05 × 6371000     		dr = 100.088410000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35430163) × cos(1.23697578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32765505368854 × 6371000     		do = 100.053412334153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35430163) × cos(1.23696007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.327669896415582 × 6371000     		du = 100.057944739413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23697578)-sin(1.23696007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32765505368854-0.327669896415582)×R²
    abs(-0.35430163--0.35434956)×1.48427270422191e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48427270422191e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48427270422191e-05×40589641000000     		ar = 10014.4137763883m²