Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58143 / 86369
↖ ↑ ↗
← S 49.555507°
W 20.305481°		 ← 198.13 m → S 49.555507°
W 20.302734°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.557289°
W 20.305481°		 ← 198.13 m →
39 257 m²		 S 49.557289°
W 20.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443599700927734 y=0.658946990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443599700927734 × 217)
    floor (0.443599700927734 × 131072)
    floor (58143.5)     		tx = 58143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658946990966797 × 217)
    floor (0.658946990966797 × 131072)
    floor (86369.5)     		ty = 86369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58143 / 86369 ti = "17/58143/86369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58143/86369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58143 ÷ 217
    58143 ÷ 131072     		x = 0.443595886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86369 ÷ 217
    86369 ÷ 131072     		y = 0.658943176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443595886230469 × 2 - 1) × π
    -0.112808227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35439750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658943176269531 × 2 - 1) × π
    -0.317886352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.99866942978463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35439750} λ = -0.35439750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99866942978463))-π/2
    2×atan(0.36836925639322)-π/2
    2×0.352944781104435-π/2
    0.705889562208871-1.57079632675     		φ = -0.86490676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35439750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.305481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86490676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.555507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58143 KachelY 86369 -0.35439750 -0.86490676 -20.305481 -49.555507
    Oben rechts KachelX + 1 58144 KachelY 86369 -0.35434956 -0.86490676 -20.302734 -49.555507
    Unten links KachelX 58143 KachelY + 1 86370 -0.35439750 -0.86493786 -20.305481 -49.557289
    Unten rechts KachelX + 1 58144 KachelY + 1 86370 -0.35434956 -0.86493786 -20.302734 -49.557289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86490676--0.86493786) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86490676--0.86493786) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35439750--0.35434956) × cos(-0.86490676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648711077389319 × 6371000     		do = 198.1330608577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35439750--0.35434956) × cos(-0.86493786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		du = 198.125831889975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86490676)-sin(-0.86493786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648711077389319-0.64868740889391)×R²
    abs(-0.35434956--0.35439750)×2.36684954089128e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36684954089128e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36684954089128e-05×40589641000000     		ar = 39256.992061675m²