Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58142 / 86502
↖ ↑ ↗
← S 49.791904°
W 20.308228°		 ← 197.17 m → S 49.791904°
W 20.305481°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
S 49.793677°
W 20.308228°		 ← 197.17 m →
38 878 m²		 S 49.793677°
W 20.305481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443592071533203 y=0.659961700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443592071533203 × 217)
    floor (0.443592071533203 × 131072)
    floor (58142.5)     		tx = 58142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659961700439453 × 217)
    floor (0.659961700439453 × 131072)
    floor (86502.5)     		ty = 86502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58142 / 86502 ti = "17/58142/86502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58142/86502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58142 ÷ 217
    58142 ÷ 131072     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86502 ÷ 217
    86502 ÷ 131072     		y = 0.659957885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659957885742188 × 2 - 1) × π
    -0.319915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0050450374341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0050450374341))-π/2
    2×atan(0.36602814946413)-π/2
    2×0.350881832158649-π/2
    0.701763664317299-1.57079632675     		φ = -0.86903266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86903266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.791904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58142 KachelY 86502 -0.35444544 -0.86903266 -20.308228 -49.791904
    Oben rechts KachelX + 1 58143 KachelY 86502 -0.35439750 -0.86903266 -20.305481 -49.791904
    Unten links KachelX 58142 KachelY + 1 86503 -0.35444544 -0.86906361 -20.308228 -49.793677
    Unten rechts KachelX + 1 58143 KachelY + 1 86503 -0.35439750 -0.86906361 -20.305481 -49.793677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86903266--0.86906361) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86903266--0.86906361) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.86903266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645565611381508 × 6371000     		do = 197.172354574849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.86906361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645541974408355 × 6371000     		du = 197.165135234832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86903266)-sin(-0.86906361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645565611381508-0.645541974408355)×R²
    abs(-0.35439750--0.35444544)×2.36369731531072e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36369731531072e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36369731531072e-05×40589641000000     		ar = 38878.2161868077m²