Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58142 / 85735
↖ ↑ ↗
← S 48.412795°
W 20.308228°		 ← 202.73 m → S 48.412795°
W 20.305481°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
S 48.414619°
W 20.308228°		 ← 202.72 m →
41 098 m²		 S 48.414619°
W 20.305481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443592071533203 y=0.654109954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443592071533203 × 217)
    floor (0.443592071533203 × 131072)
    floor (58142.5)     		tx = 58142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654109954833984 × 217)
    floor (0.654109954833984 × 131072)
    floor (85735.5)     		ty = 85735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58142 / 85735 ti = "17/58142/85735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58142/85735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58142 ÷ 217
    58142 ÷ 131072     		x = 0.443588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85735 ÷ 217
    85735 ÷ 131072     		y = 0.654106140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443588256835938 × 2 - 1) × π
    -0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654106140136719 × 2 - 1) × π
    -0.308212280273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.968277435425514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35444544} λ = -0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968277435425514))-π/2
    2×atan(0.379736595851732)-π/2
    2×0.362916821914055-π/2
    0.725833643828111-1.57079632675     		φ = -0.84496268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84496268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.412795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58142 KachelY 85735 -0.35444544 -0.84496268 -20.308228 -48.412795
    Oben rechts KachelX + 1 58143 KachelY 85735 -0.35439750 -0.84496268 -20.305481 -48.412795
    Unten links KachelX 58142 KachelY + 1 85736 -0.35444544 -0.84499450 -20.308228 -48.414619
    Unten rechts KachelX + 1 58143 KachelY + 1 85736 -0.35439750 -0.84499450 -20.305481 -48.414619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84496268--0.84499450) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84496268--0.84499450) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.84496268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663759196306575 × 6371000     		do = 202.729143713843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35444544--0.35439750) × cos(-0.84499450) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66373539631797 × 6371000     		du = 202.721874584711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84496268)-sin(-0.84499450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663759196306575-0.66373539631797)×R²
    abs(-0.35439750--0.35444544)×2.37999886052442e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37999886052442e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37999886052442e-05×40589641000000     		ar = 41097.5734455101m²