Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58141 / 86525
↖ ↑ ↗
← S 49.832668°
W 20.310974°		 ← 196.97 m → S 49.832668°
W 20.308228°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 49.834439°
W 20.310974°		 ← 196.96 m →
38 800 m²		 S 49.834439°
W 20.308228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443584442138672 y=0.660137176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443584442138672 × 217)
    floor (0.443584442138672 × 131072)
    floor (58141.5)     		tx = 58141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660137176513672 × 217)
    floor (0.660137176513672 × 131072)
    floor (86525.5)     		ty = 86525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58141 / 86525 ti = "17/58141/86525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58141/86525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58141 ÷ 217
    58141 ÷ 131072     		x = 0.443580627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86525 ÷ 217
    86525 ÷ 131072     		y = 0.660133361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443580627441406 × 2 - 1) × π
    -0.112838745117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35449337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660133361816406 × 2 - 1) × π
    -0.320266723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00614758612536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35449337} λ = -0.35449337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00614758612536))-π/2
    2×atan(0.365624807999635)-π/2
    2×0.350526098218621-π/2
    0.701052196437242-1.57079632675     		φ = -0.86974413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35449337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.310974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86974413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.832668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58141 KachelY 86525 -0.35449337 -0.86974413 -20.310974 -49.832668
    Oben rechts KachelX + 1 58142 KachelY 86525 -0.35444544 -0.86974413 -20.308228 -49.832668
    Unten links KachelX 58141 KachelY + 1 86526 -0.35449337 -0.86977505 -20.310974 -49.834439
    Unten rechts KachelX + 1 58142 KachelY + 1 86526 -0.35444544 -0.86977505 -20.308228 -49.834439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86974413--0.86977505) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dl = 196.991320000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86974413--0.86977505) × R
    3.09200000000454e-05 × 6371000     		dr = 196.991320000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35449337--0.35444544) × cos(-0.86974413) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645022094974762 × 6371000     		do = 196.965256316239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35449337--0.35444544) × cos(-0.86977505) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.644998466718017 × 6371000     		du = 196.958041143793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86974413)-sin(-0.86977505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645022094974762-0.644998466718017)×R²
    abs(-0.35444544--0.35449337)×2.36282567455115e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36282567455115e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36282567455115e-05×40589641000000     		ar = 38799.7351758425m²