Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58139 / 39514
↖ ↑ ↗
← N 57.946930°
W 20.316467°		 ← 162.09 m → N 57.946930°
W 20.313721°		 →
↑
162.08 m
↓
↑
162.08 m
↓
N 57.945472°
W 20.316467°		 ← 162.10 m →
26 272 m²		 N 57.945472°
W 20.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443569183349609 y=0.301471710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443569183349609 × 217)
    floor (0.443569183349609 × 131072)
    floor (58139.5)     		tx = 58139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301471710205078 × 217)
    floor (0.301471710205078 × 131072)
    floor (39514.5)     		ty = 39514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58139 / 39514 ti = "17/58139/39514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58139/39514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58139 ÷ 217
    58139 ÷ 131072     		x = 0.443565368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39514 ÷ 217
    39514 ÷ 131072     		y = 0.301467895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443565368652344 × 2 - 1) × π
    -0.112869262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35458925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301467895507812 × 2 - 1) × π
    0.397064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2474140019131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35458925} λ = -0.35458925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2474140019131))-π/2
    2×atan(3.48132859783314)-π/2
    2×1.29108052177496-π/2
    2.58216104354992-1.57079632675     		φ = 1.01136472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35458925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.316467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01136472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.946930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58139 KachelY 39514 -0.35458925 1.01136472 -20.316467 57.946930
    Oben rechts KachelX + 1 58140 KachelY 39514 -0.35454131 1.01136472 -20.313721 57.946930
    Unten links KachelX 58139 KachelY + 1 39515 -0.35458925 1.01133928 -20.316467 57.945472
    Unten rechts KachelX + 1 58140 KachelY + 1 39515 -0.35454131 1.01133928 -20.313721 57.945472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01136472-1.01133928) × R
    2.54399999999322e-05 × 6371000     		dl = 162.078239999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01136472-1.01133928) × R
    2.54399999999322e-05 × 6371000     		dr = 162.078239999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35458925--0.35454131) × cos(1.01136472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530704538093343 × 6371000     		do = 162.090826268599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35458925--0.35454131) × cos(1.01133928) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.530726099769059 × 6371000     		du = 162.09741175936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01136472)-sin(1.01133928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530704538093343-0.530726099769059)×R²
    abs(-0.35454131--0.35458925)×2.15616757168746e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15616757168746e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15616757168746e-05×40589641000000     		ar = 26271.9295254352m²