Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58138 / 86490
↖ ↑ ↗
← S 49.770622°
W 20.319214°		 ← 197.22 m → S 49.770622°
W 20.316467°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 49.772396°
W 20.319214°		 ← 197.21 m →
38 900 m²		 S 49.772396°
W 20.316467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443561553955078 y=0.659870147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443561553955078 × 217)
    floor (0.443561553955078 × 131072)
    floor (58138.5)     		tx = 58138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659870147705078 × 217)
    floor (0.659870147705078 × 131072)
    floor (86490.5)     		ty = 86490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58138 / 86490 ti = "17/58138/86490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58138/86490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58138 ÷ 217
    58138 ÷ 131072     		x = 0.443557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86490 ÷ 217
    86490 ÷ 131072     		y = 0.659866333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443557739257812 × 2 - 1) × π
    -0.112884521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35463718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659866333007812 × 2 - 1) × π
    -0.319732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00446979463866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35463718} λ = -0.35463718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00446979463866))-π/2
    2×atan(0.366238765091791)-π/2
    2×0.35106755142901-π/2
    0.702135102858019-1.57079632675     		φ = -0.86866122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35463718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.319214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86866122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.770622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58138 KachelY 86490 -0.35463718 -0.86866122 -20.319214 -49.770622
    Oben rechts KachelX + 1 58139 KachelY 86490 -0.35458925 -0.86866122 -20.316467 -49.770622
    Unten links KachelX 58138 KachelY + 1 86491 -0.35463718 -0.86869218 -20.319214 -49.772396
    Unten rechts KachelX + 1 58139 KachelY + 1 86491 -0.35458925 -0.86869218 -20.316467 -49.772396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86866122--0.86869218) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86866122--0.86869218) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(-0.86866122) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645849237357134 × 6371000     		do = 197.217834193219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(-0.86869218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645825600172092 × 6371000     		du = 197.210616294411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86866122)-sin(-0.86869218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645849237357134-0.645825600172092)×R²
    abs(-0.35458925--0.35463718)×2.3637185042058e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3637185042058e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3637185042058e-05×40589641000000     		ar = 38899.7486298028m²