Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58138 / 38680
↖ ↑ ↗
← N 59.142135°
W 20.319214°		 ← 156.62 m → N 59.142135°
W 20.316467°		 →
↑
156.66 m
↓
↑
156.66 m
↓
N 59.140726°
W 20.319214°		 ← 156.63 m →
24 538 m²		 N 59.140726°
W 20.316467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443561553955078 y=0.295108795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443561553955078 × 217)
    floor (0.443561553955078 × 131072)
    floor (58138.5)     		tx = 58138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295108795166016 × 217)
    floor (0.295108795166016 × 131072)
    floor (38680.5)     		ty = 38680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58138 / 38680 ti = "17/58138/38680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58138/38680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58138 ÷ 217
    58138 ÷ 131072     		x = 0.443557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38680 ÷ 217
    38680 ÷ 131072     		y = 0.29510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443557739257812 × 2 - 1) × π
    -0.112884521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35463718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29510498046875 × 2 - 1) × π
    0.4097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28739337619623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35463718} λ = -0.35463718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28739337619623))-π/2
    2×atan(3.62332957858806)-π/2
    2×1.30151065415392-π/2
    2.60302130830784-1.57079632675     		φ = 1.03222498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35463718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.319214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03222498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.142135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58138 KachelY 38680 -0.35463718 1.03222498 -20.319214 59.142135
    Oben rechts KachelX + 1 58139 KachelY 38680 -0.35458925 1.03222498 -20.316467 59.142135
    Unten links KachelX 58138 KachelY + 1 38681 -0.35463718 1.03220039 -20.319214 59.140726
    Unten rechts KachelX + 1 58139 KachelY + 1 38681 -0.35458925 1.03220039 -20.316467 59.140726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03222498-1.03220039) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dl = 156.662889999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03222498-1.03220039) × R
    2.4589999999991e-05 × 6371000     		dr = 156.662889999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(1.03222498) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512910099124739 × 6371000     		do = 156.623269076146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35463718--0.35458925) × cos(1.03220039) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.512931208066508 × 6371000     		du = 156.629714945456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03222498)-sin(1.03220039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512910099124739-0.512931208066508)×R²
    abs(-0.35458925--0.35463718)×2.11089417690991e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11089417690991e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11089417690991e-05×40589641000000     		ar = 24537.5588901872m²